对称函数中的组合方法

The theory of symmetric functions is an important research area in combinatorics, and has close connections to the representation theory, algebraic geometry and mathematical physics. In this project, we aim to further study the properties of the factorial Schur functions as well as the interpolation formulas for symmetric functions...(1) Explore a combinatorial understanding of the fact that factorial Schur function coincide with double Schubert polynomials indexed by Grassmannian permutations; investigate the properties of coefficients appearing in the linear expansion of a factorial Schur functions with respect to the basis of Schubert polynomials...(2) Apply the method of the interpolation formula for symmetric functions to obtain a combinatorial proof for an identity on Schur functions established by Feher, Nemethi and Rimanyi using geometric techniques.

对称函数理论是组合数学中的重要研究方向，与表示论、代数几何、数学物理等领域有密切的联系。该项目拟研究阶乘Schur函数的性质和对称函数插值公式，主要内容包括：..（1）给出阶乘Schur函数是Grassmannian的排列对应的double Schubert多项式这一性质的组合解释；研究阶乘Schur函数以Schubert多项式为基的线性展开的系数的性质。..（2）应用对称函数插值方法给出几何学家Feher、Nemethi和Rimanyi运用几何技巧建立的关于Schur函数的等式的组合证明。

本项目主要是在不变量在组合数学中应用与组合多项式gamma-正性开展研究.经典的不变量理论与高斯系数的单峰性有着密切的联系,J.Sylvester利用二元型不变量理论首次证明了A.Cayley关于高斯系数是单峰的猜想.本项目一方面利用二元型的半不变量具有环性质,给出了I.Pak(2018年ICM报告人)在高斯系数强单峰证明中起关键作用的加性引理的一个简洁证明,并且给出了J.Sylvester关于单峰性证明的核心等式--Hilbert的等式的一个组合证明.另一方面,我们发现分拆函数p(n)满足高阶图兰不等式,此不等式正好对应于二元三次多项式的不变量,而该高阶图兰不等式等价于与整数分拆函数p(n)相关联的Jensen多项式只有实根.我们猜测分拆函数p(n)满足任意d阶图兰不等式.该文章得到了广泛的关注,特别是M.Griffin,K.Ono,L.Rolen和D.Zagier(美国科学院院士)发表在《美国国家科学院院刊》(PNAS)文章中证明了我们的猜想在n充分大的时候成立,并由我们的猜想引发了黎曼zeta-函数相关联的Jensen多项式的实根猜想的研究,他们的结果被ScienceNews,PHYS@ORG,Scitech,Europa,Futurity,《南方周末》等多家媒体专题报道,被称为“黎曼猜想的重要进展”.我们希望在长达一个多世纪的沉寂之后,经典的不变量理论可以被更广泛地应用到组合学中,或许可以被称为计数不变量理论...在组合多项式的gamma-正性,马世美等人首次提出文法变换来证明多项式的gamma-正性,我们将其方法拓宽,结合我们提出的文法标号,给出了多项式gamma-正的系数的组合解释.由此给出了欧拉多项式,二阶欧拉多项式,多重集合上Stirling排列的欧拉多项式的gamma-展开式(e-展开式,或者部分gamma-展开式)系数的组合解释.其中,上下文无关文法是由项目负责人陈永川于1993首次提出,通过建立与微分算子的联系,为一类经典哑演算方法奠定了严格的基础.现在该方法被广泛运用于解决多个组合计数问题,国际上称之为“陈氏文法”.