代数几何和组合方法在Hash函数族构造中的应用

Hash families are of great importance in coding theory and cryptography. Algebraic curves over finite fields accompanying combinatorial methods, have many significant applications on constructions of Hash families. Explicit constructions of Hash families asymptotically good are of great value in practice. There are many efforts on the topic, moreover, there are still many open problems.The project is devoted to the constructions of Hash families applying the algebraic curves over finite fields. Especially, we plan to present an infinite class of explicitly constructed Hash families with good asymptotical behavior.We are going to study on the open problem given by D.R.Stinson and G.Zaverucha, which says that when t≥3, whether there exist explicit constructions of {w1,w2,...,wt}-separating Hash families asymptotically well；meanwhile, we study recursive construction of Hash families derived from combinatorial methods and techniques，find lower and upper bounds on separating Hash families when t≥3 and w1+w2+...+wt≥4. The combinatorial algorithms for the construction of Hash families also would be designed and analyzed. Furthermore, we contribute ourselves to applying Hash families to the coding theory and cryptography in order to design more useful codes and schemes.

Hash函数族的构造是编码理论与密码学中的主要研究课题之一.应用有限域上的代数曲线和组合方法是构造Hash函数族的重要方法.明确构造具有优良渐近行为的Hash函数族具有很重要的理论价值,许多问题有待研究解决.本项目的重点是应用有限域上的代数曲线与组合方法相结合,研究Hash函数族的构造问题,特别是研究具有优良渐近行为的分离Hash函数族的构造问题.D.R.Stinson和G.Zaverucha提出公开问题：当t≥3时，是否可以确定性构造出具有优良渐近行为的{w1,w2,...,wt}-分离Hash函数族？本项目将探索解答此公开问题。同时,本项目还研究应用组合方法和技巧给出的Hash函数族的新的递归构造方法；研究t≥3且w1+w2+...+wt≥4时Hash函数族存在性并设计构造Hash函数族的组合算法，分析算法的有效性；研究Hash函数族在编码理论与密码学中的应用。

Hash函数族的构造是编码理论与密码学中的主要研究课题之一.应用有限域上的代数曲线和组合方法是构造Hash函数族的重要方法.明确构造具有优良渐近行为的Hash函数族具有很重要的理论价值,许多问题有待研究解决.本项目的重点是应用有限域上的代数曲线与组合方法相结合,研究Hash函数族的构造问题,特别是研究具有优良渐近行为的广义分离Hash函数族的构造问题.可认证父代码用来阻止非法产生知识产权问题。在文章[良好渐近行为的IPP码]中，我们构造了渐近性良好的IPP码。应用有限域上的代数曲线，我们改进了PAHF的参数。作为应用，构造了具有良好渐近行为的一族IPP码。 我们构造的码是多项式时间，渐近率远远大于零，特别地，渐近率和相对分离距离与码长N和码字长短n无关。交互式加密方案是外包计算的核心组件，如何设计这种新式的加密方案是研究的难点所在。我们系统地分析了若干外包计算协议，研究了云计算外包服务中存在的一些问题，提出了如下一些注意事项。这些注意事项包括：（1）封装后的问题是在哪个数域上求解的。2013年，Wang等人发表了一篇关于线性方程组外包计算问题的论文[IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems, 24(6), 1172-1181, 2013], 曾经被多次引用。经分析后，我们得知设计者混淆了封装后问题所在的数域特征，定义了有限域上的收敛序列，该协议是无法真正实现的[IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems, 27(5), 1551-1552, 2016].（2）封装后的问题是否可解。2016年，Wang 等人在IEEE Trans. Computers上发表了一篇论文[IEEE Trans. Computers, 65(1), 2016, 216-229]，该文针对线性规划外包问题提出了一个设计方案. 我们的分析表明该该封装后的问题是不可解的 [International Journal of Network Security, 19(2), 323-326, 2017].