组合序列研究中的分析方法

分析理论及方法在当前组合学的研究中发挥着越来越重要的作用。本项目将组合数学与分析相结合，研究一些组合序列的分析性质和组合性质，主要包括：.1.超几何多项式的实根问题。我们将重点研究3F2超几何多项式的实根性质及渐近分析，利用数学机械化的方法寻找这些多项式的递推关系，采用经典分析的方法研究其根的性质。.2.与排列相关的组合序列研究。我们将研究drop数不超过给定值的排列的下降多项式的实根性质，B型排列的错排和对合的计数多项式，广义欧拉-类数的计算。我们将结合组合模型和分析工具对这些问题进行研究。.3.与整数分拆相关的组合序列研究。我们将研究带条件分拆的算术性质和关于t-core公式的猜想。考虑组合方法与模形式的结合是我们的主要研究方法。

按照项目计划，我们对超几何多项式的实根问题、与排列相关的组合序列、与整数分拆相关的组合序列等进行了研究，取得多项重要成果，共发表论文25篇，发表期刊包括《Adv. Appl. Math.》、《Int. Math. Res. Not.》、《Math. Z.》、《European J. Combin.》、《Math. Comp.》等本专业权威刊物。项目执行期间，还培养了多名研究生，并组织了一次国际会议、一次国内会议。. 在利用分析方法解决单峰型问题方面：Boros-Moll多项式的无穷对数凹性近些年来引起组合学家的关注，我们利用构造中间函数的方法证明了Boros-Moll序列满足2阶对数凹性，通过证明Boros-Moll多项式的两组变形多项式的实根性进而证明了Boros-Moll多项式具有3阶对数凹性，之前欧洲科学院院士P. Paule教授曾认为“we have little hope that a proof of 2-log-concavity could be completed along these lines”。. 在与排列相关的组合序列方面，彻底解决了Dirichlet 序列Lm(s)的计算问题，并回答了D. Shanks 于1975年提出的关于寻找欧拉类数的组合解释的问题，相关结果发表于《Math. Comp.》；推广了Foata和Han在排列群中用A-codes和B-codes来表示排列的思想和方法，给出了 Petersen在其论文中需要的组合双射，并将其扩展到B型和D型的有限Coxeter群上，得到了新的多变量统计量的等分布性质，相关结果发表于《Adv. Appl. Math.》。. 在与整数分拆相关的组合序列方面，我们在部分数互不相同且最小部分为奇数的分拆所组成的集合上，构造了一个Franklin类型的对合，进而给出了Alladi关于Ramanujan部分theta等式和Andrews等式的两个赋权分拆等式的组合证明，相关结果发表于《Adv. Appl. Math.》；仿theta函数广受数论学家的关注，我们利用组合构造的方法得到了两个三仿theta函数的分拆恒等式，进而导出了Ramanujan两个著名的的分拆恒等式，从而给出了这两个恒等式的组合证明，揭示了其本质。