随机耦合振子的逼近

Coupled oscillation is popular and important in science and engineering, it appears in macroscopic, microscopic and cosmoscopic problems. In the physical oscillation, uncertainty or heat fluctuation always exists, noise should be taken into account to model the oscillation. This thesis mainly concerns stochastic coupled oscillators and studies the behavior and the approximation of the solution when the coupling is strong. we study firrst order linear stochastic coupled oscillators and second order linear stochastic coupled oscillators. The asymptotic behavior of the solution and the approximation with strong coupling are derived. we consider first order nonlinear stochastic coupled oscillators and second order nonlinear stochastic coupled oscillators. In the case of general noise, under the assumptions of Lipschitz and locally Lipschitz nonlinearity,by direct estimations of solutions respectively. Existence of rotation number is derived under the periodic assumption.

耦合振动是在工程和科学中非常重要的现象，无论是宏观，微观还是宇观问题中都会出现耦合的振子。对这些实际的振动，由于外界不确定性因素，或者热涨落的影响，在我们建立模型时，必须考虑噪声这一重要因素。本项目主要研究几类随机耦合振子的解的渐近行为以及在耦合很大时的渐近性质。研究一阶线性随机耦合振子和二阶线性随机耦合振子的渐近性质，以及它们在耦合强度足够大时的性质。进一步研究一阶非线性和二阶非线性随机耦合振子的渐近性质。针对一般的噪声，分别在Lipschitz 非线性和局部Lipschitz 非线性两种情形下，研究系统的长时间行为的一维逼近，并且在周期性假设下，证明旋转数的存在性。

研究耦合振动时，由于外界的不确定因素，在我们建立模型时，必须考虑噪声这一重要因素。本项目主要研究几类随机N-耦合振子的解的行为以及在耦合很大时的逼近性质。取得的成果主要有如下几个方面： （1）对一阶线性和二阶线性随机N-耦合振子系统，通过解耦得到系统的一维逼近。（2）对一阶非线性和二阶非线性随机N-耦合振子，对于一般的噪声，分别在Lipschitz非线性和局部Lipschitz非线性情形下，得到系统长时间行为的一维逼近。对于加性噪声情形，我们利用随机不变流形的约化得到了系统的一维约化系统，并利用解的有界性估计给出了该一维约化系统在耦合很大时的逼近。（3）在周期型假设下，证明了各类系统的旋转数的存在性，并给出旋转数在耦合很大时的逼近。.该项目所得成果将为该领域今后研究工作和大量的实际问题提供理论指导。