耦合振子链的波动形式

物理介质中的能量传输始终是人们关切的实际问题。而能量传输通常与物质的波动形式紧密相关。耦合振子链能模拟诸多物理、化学、工程甚至生物系统。因而耦合振子链中的波动形式与稳定性问题受到了广泛关注和研究。Frenkel-Kontorova （FK） 模型、Fermi-Pasta-Ulam (FPU) 振子链和离散非线性 Schrodinger (DNLS)方程是最为著名的三个耦合振子模型。空间离散系统的行波问题的难点是需要求解混合型时滞微分方程。本项目致力于利用动力系统理论（如单调动力系统理论和 Aubry-Mather理论）、变分法和拓扑度理论研究这三个耦合振子链的行波解的存在性和稳定性。

基于动力系统理论（如单调系统，Aubry-Mather 理论），变分法，和拓扑度，我们研究了耦合振子链（如Frenkel-Kontorova 模型）的行波解。主要结果总结如下：.1．.我们研究带有外力的粒子链的调制一致滑动态的存在性。如果没有位置势能，则对每个正外力，存在平凡的一致滑动态。如果耦合粒子链具有周期位置势能以及凸的相互作用势能，我们证明在一定条件下存在调制的一致滑动解。这个条件是系统为过阻尼的，并且外力要超过某个临界值。此临界值依赖于粒子的平均间距。如果外力小于此临界值， 则系统具有无理平均间距的Birkhoff 平衡态，可以由两个单调的壳函数来表示。..2．.我们考虑带有周期外力的Frenkel-Kontorova 模型在过阻尼极限下的非共度结构。我们证明在无穷维的相空间中存在有序圆，Poincare 映射和空间移位映射都可以在其上诱导出圆周保向同胚。进一步我们证明具有无理平均间距的粒子链的平均速度存在，并且关于外力的平近值是连续的和单调增的。如果空间移位在此不变有序圆上是遍历的，我们证明了双变量壳函数的存在性以及锁模现象的不存在性。..3．.我们研究双原子Frenkel-Kontorova 模型匀速运动的调制结构。对有阻尼和驱动情形应用拓扑方法，对保守系统用变分法，我们证明了双原子Frenkel-Kontorova 模型存在两个调制函数，分别对应于轻原子和重原子。..4．.我们讨论双原子 Fermi-Pasta-Ulam 链的周期行波。通过应用极大极小原理，我们证实了对应于轻重粒子的两个不同的周期波函数的存在性。对每个波数和每个频率，我们的方法可以应用于 FPUβ-模型。如果波数和频率满足非共振条件，则我们的方法可以应用于带有渐近二次势能的FPU 振子链。 ..5．.我们给出了对 Bose-Einstein 凝聚态（BECs）应用平均法的框架。并得到了 BECs 的动力学。应用平均法，我们定出了调幅波的位置并且得到了当连续变化积分常数时这些调幅波形成叶状结构。