与可压Euler方程耦合的几类偏微分方程的数学理论研究

The project mainly around some PDEs coupled to the compressible Euler equations,and study its local and global well-posedness and the properties of its solutions. These equations are the compressible Euler-Piosson equations、the compressible Euler-Maxwell equations、the compressible Euler-Korteweg equations and the magnetohydrodynamic equation coupled to the compressible Euler equations.These equations have strong Physics background.In recently,We mainly studied the theory of PDEs coupled to the compressible Navier-Stokes equations.Dut the PDEs coupled to the compressible Euler equations are much more complicated than the PDEs coupled to the compressible Navier-Stokes equations,for which no general mathematical framework.Despite recent the wellposedness and time decay estimates of the compressible Euler-Poisson equations、the compressible Euler-Maxwell Equations have breakthrough,but there are still many issues needed to be addressed. The PDEs involving Korteweg,their well-posedness and the properties of the solutions have only part results in a few exceptional cases, the theory is far from perfect.Thus,the study of the PDEs coupled to the compressible Euler equations has perfect significance of the theory of partial differential equations.

本项目主要围绕与可压Euler方程耦合的几类偏微分方程，研究其解的局部与整体适定性、解的性质等数学理论问题。这几类方程包括可压Euler-Piosson方程、可压Euler-Maxwell方程、可压Euler-Korteweg方程以及与可压Euler方程耦合的磁流体力学方程组。这几类方程都具有强烈的物理背景，对它们的研究具有重要的实际意义。近年来，人们主要研究与Nacier-Stokes方程耦合的偏微分方程理论。但是与可压Euler方程耦合的方程的数学问题，比之难度更大，目前还没有固定的数学框架可循。尽管最近在可压Euler-Piosson方程、可压Euler-Maxwell方程的适定性和解的衰减估计方面有突破，但仍有许多问题需要解决。涉及Korteweg项的方程，其适定性和解的性质仅在几个特殊情形下才有部分的结果，理论远未完善。因此，对它们的研究具有完善偏微分方程理论的重要意义。

在初始数据的$H^3$范数充分小，但高阶导数的$H^3$范数可以任意大的条件下构造了三维全空间中的具有阻尼的可压Euler方程的唯一的整体解。同时，也考虑了时间周期解的存在性和唯一性。进一步地，我们研究了三维全空间中的可压Euler-Poisson系统在靠近非平凡稳定状态的光滑解的整体存在性和渐近行为。对三维全空间中的可压非等熵的Euler－Maxwell方程,当初值在$H^3$中小但高阶导数可以大时，得到了整体存在性。同时也研究了双极的可压Euler-Maxwell方程，在常数平衡态下，解的大时间行为。..证明在绝热指数大于5/3时，可压Navier-Stokes方程组弱周期解的存在性。考虑了三维空间非齐次不压缩热传导的粘性流体，在初始密度有正的上下界和初始温度任意大的假设下得到了全局适定性。同时也考虑通过多孔介质的可压热传导流体的Cauchy问题光滑解的衰减估计。..考虑了外围问题即可压缩Navier-Stokes-Poisson 方程、可压等熵和非等熵Navier-Stokes-Korteweg方程、可压缩磁流体(MHD)方程、带线性damping的可压Navier-Stokes-Maxwell方程组的全局存在性、唯一性和大时间性态。也考虑了带随机外力的三维不可压MHD方程组的强解的存在性。..建立可压的可导流体的流体动力学模型，即广义的Poisson–Nernst–Planck–Navier–Stokes系统。证明了局部古典解的唯一性，在小扰动下的全局解的唯一性，以及解和其任意阶导数的最佳衰减率。..推导了在$R^3$中描述液晶流动力学发展的 Ericksen-Leslie 系统模型的简化模型不可压液晶流古典解爆破的 LPS 判据，定义了耗散项$D(u,d)$，然后得到了三维空间弱解的局部能量方程。并在二维情形得到 $D(u,d)=0$。利用三次逼近和弱收敛的方法得到弱解的存在性。..我们考虑了具有可控增长条件的二阶非线性抛物方程组弱解的部分正则性,给出了在一个给定点的邻域弱解时正则的一般性判据. 在卡诺群上的二阶非线性椭圆系统的弱解的部分正则性。考虑了在周期域中3维可压等熵的自引力流体弱解的正则性。证明了对于某个正的时间,得到了密度的上确界是有界的，下确界是正的结果。进一步地，我们利用Moser 迭代得到了速度的L无穷模估计。