可压缩Euler方程及其相关问题的整体解

Euler system is a typical hyperbolic conservation laws, reflecting the motion of inviscid ideal fluids. Euler system has attracted much attention since its birth. The typical feature of this system is that the classical solutions may develop singularities in finite time, even when the initial data are smooth and small. Meanwhile, the Euler system with zero-order source terms has broad application. The main purpose of this project is to study the influence of the source terms on the global solutions to the Euler system. Specifically speaking, besides the existence, uniform boundedness, and the asymptotic behavior of the global solutions (including the smooth and weak solutions) to the bipolar hydrodynamic model of semiconductors, the effects of the vacuum and the singular point on the Euler system with geometric source terms are considered. On the one hand, the research has an important reference value for the experimental design and numerical simulation. On the other hand, it also improves the relevant mathematic theory of hyperbolic balance laws.

Euler方程组是刻画无粘理想流体运动的双曲型系统，自其诞生之日便吸引了大批学者的关注。该类方程组的主要特点是：不管初值多么光滑，其古典解都可能在有限时间内产生爆破。同时，带有零阶源项的Euler方程组具有广泛的应用背景。本项目的主要目的是研究源项对Euler方程组整体解性态的影响。具体来讲，研究“大”掺杂的双极Euler-Poisson半导体模型整体解（光滑解或弱解）的存在性、关于时间的一致有界性及各种渐近行为；研究带有几何源项的Euler方程组解的整体性态，重点关注真空及奇点对光滑解爆破产生机制的影响。研究这些问题对相关模型的实验设计与数值模拟有着重要的参考价值，为总结带有一般源项的Euler方程组整体解的性态、完善双曲平衡律的相关数学理论提供前提依据。

Euler方程组是刻画无粘理想流体运动的双曲型系统，是联系数学中的偏微分方程与物理学中的流体力学的一座重要桥梁。自其诞生之日便吸引了大批学者的关注。Euler方程组的研究历史虽然久远，但其中仍有很多未解之谜。该方程组最主要特点是：不管初值多么光滑，其古典解都可能在有限时间内产生爆破。因此研究该方程组弱解的整体性态具有非常重要的理论和应用价值。. 本项目围绕着Euler方程组及其相关问题的整体解性态展开研究，获得了一些重要的基础性研究成果。具体来讲，1.完成了双极Euler-Poisson半导体模型绝缘边界问题亚音速稳态解的存在唯一性的证明；2.建立了双极Euler-Poisson半导体模型绝缘边界条件下“大”初值弱熵解的大时间行为框架，部分揭示了Poisson项、阻尼项及掺杂函数之间的耦合机制，并将该框架应用到粘性消失法得到的整体弱熵解大时间行为的证明上；3.发现了Burgers-Vlasov方程Cauchy问题光滑解爆破的充要条件，并利用补偿列紧方法及L1紧性定理构造性地证明了该方程整体有界弱解的存在性；4.分别在多方气体及一般压力函数的条件下研究了时变阻尼系数的Euler方程奇性的形成及密度的下界问题，得到了只要初始黎曼不变量压缩程度适当大，阻尼系数的任何次的代数增长都阻碍不了奇性形成的结论。.这些研究成果填补了初值带有真空的Euler-Poisson方程组及带有时变阻尼的Euler方程组整体解相关研究的空白，加深了人们对该类方程组的理解程度，也为进一步研究类似相关问题提供了新的思路和方法。同时，该研究成果对Euler-Poisson半导体模型的实验设计与数值模拟有着重要的参考价值，为完善偏微分方程中的相关数学理论提供了前提依据。