高阶张量谱分析与张量场特征可视化及其在MRI医学影像中的应用

High order tensor computation and tensor-value data processing problems are often involved in the research of medical imaging or image processing. This project will focus on the spectral theory of tensor and its applications in imaging sciences. We will examine the Z-eigenvalue and Z-eigenvector of higher order tensor. By using the variational analysis techniques, we will study some semismooth properties for the maximum Z-eigenvalue function on the super-symmetric tensor space. And we will discuss some numeical methods for solving space tensor conic programming problem, and will establish their global or local convergence results. As their applications, we will further disscuss some topics about the visualization of tensor and multiple-fiber reconstructions in High Angular Resolution Diffusion Imaging (HARDI).We will develop a novel technique to guarantee the nonegative property of the Orientation Distribution Function (ODF) by solving a space tensor convex quadratic programming problem.

在医学成像、图像处理等信息处理技术的研究中经常会涉及到张量数据的处理与计算，为探求张量数据蕴含的一些本质特征，往往需要对张量进行不变量分析和特征可视化等。本项目将深入研究高阶张量谱理论及其在影像科学中的应用，我们将利用算子理论和变分技巧研究高阶张量Z-特征值与Z-特征向量的性质，探讨张量特征值函数的分析性质，张量主特征值和主特征向量的计算与可视化等问题；研究一种非负扩散定向分布函数成像模型，通过求解一个空间张量二次凸规划问题，可以保证对任意高阶张量实现半正定拟合；探讨空间张量规划的有效算法，分析算法的收敛性和有效性，并将其应用到张量场特征可视化与脑白质神经纤维追踪成像。

为探求张量数据蕴含的一些本质特征，往往需要对张量进行不变量分析和特征可视化等。本项目研究了高阶张量谱理论，利用算子理论和变分技巧，我们研究了高阶张量Z-特征值与Z-特征向量的性质，探讨张量特征值函数的分析性质，张量主特征值和主特征向量的计算与可视化等问题；研究了一种非负扩散定向分布函数成像模型及其在影像科学中的应用，通过求解一个空间张量二次凸规划问题，可以保证对任意高阶张量实现半正定拟合；对张量广义特征值问题提出了有效的自适应梯度算法，分析了算法的收敛性和有效性；探讨了一类具有特殊结构的张量互补问题解集的性质，我们证明了一个张量是S-张量当且仅当其对应的张量互补问题是可行的，并且每一个Q-张量都是S-张量。进一步，探讨了张量互补问题解集的有界性问题，对一个严格半正张量所对应的张量互补问题，我们给出了该问题解集的一个上界，并且该上界与张量的最小Pareto特征值密切相关。