非均匀Eshelby张量场及其在细观力学中的应用

研究非椭球夹杂Eshelby问题对复合材料有效性质的估计、利用材料有效性质的变化检测材料内部缺陷、压电/磁灵敏器件的设计与控制、半导体量子器件中应变诱导的量子点（线的生长）等细观力学问题具有重要意义。（椭球夹杂的）Eshelby张量通过把摄动应力场的分析求解问题转化为代数运算问题，大大方便于估计复合材料、多晶材料等非均匀材料的有效性质。对于非椭球夹杂，夹杂内应变场不是均匀的，能否继续使用这种等效夹杂法来分析还不清楚。其关键在于缺乏任意非椭球夹杂Eshelby 张量场的解析解。我们对二维各向同性弹性Eshelby 问题的研究表明，寻找非椭球夹杂的各种解析解是可能的，并分析证明了基体-非椭圆颗粒的问题大都不能再用等效夹杂法来分析。本项目将我们已有的研究思路和方法拓展到三维各向同性弹性、热传导/电导Eshelby问题和二维各向异性压电/压磁耦合Eshelby问题的研究，获得更加全面、深入的成果。

本项目对非椭球Eshelby问题做了全面深入的研究，取得了一系列的成果。具体包括（1）无限域情况，开展了各向同性弹性夹杂的椭圆近似的误差分析；利用Stroh公式，推导出了任意非椭圆各向异性夹杂问题的显式积分表达式，得到包括任意多边形、约当曲线和洛朗级数表示的任意形状夹杂的解析解；通过求解压电磁双材料半平面问题统一了茹重庆的复变量方法和潘尔年的格林函数解法，特别给出了正多边形的全平面、半平面和双材料半平面的解。（2）有限域情况，利用叠加原理创造性地提出了有限域Eshelby问题的一般求解方法，对圆域内任意形状的弹性夹杂问题给出了显式积分表示；对热/反平面弹性夹杂问题则得到了任意域内任意形状夹杂的显式解；对三维球域内偏心球夹杂Eshelby问题得到级数展开解。（3）利用高阶张量的不可约分解，提出了高阶物理张量各向异性分类和识别的一般思路，给出了弹性张量各向异性识别的详细过程和压电张量各向异性分类及其识别的方法。