高阶张量的最佳低秩逼近及其在信号处理中的应用

高阶张量的最佳低秩逼近问题是一类极小化问题，它不仅是张量分析与多重线性代数理论的基本问题，在实际中也有广泛应用，已经吸引了越来越多的专家学者进行研究。由于与矩阵低秩逼近有本质的区别，使得我们无法按照矩阵低秩逼近的思路来研究该问题。本项目的主要研究内容是：首先利用多重线性代数与多项式优化理论来讨论各种具有特殊对称性质的张量间最佳秩-１逼近的关系；其次，利用SDP、SOS等松弛技术建立最佳秩-1逼近的多项式逼近解，建立快速有效的数值算法并进行理论与数值分析；再次，探讨张量最佳低秩逼近的存在性条件，然后建立各种求解算法并进行理论与数值分析。最后，基于所建理论与算法，探讨其在信号处理中的应用。该问题的研究不仅发展了多重线性代数与多项式优化理论，也有其实际应用价值。

本项目主要研究高阶张量的最佳低秩逼近问题及其应用。近三年来，项目负责人及参与人讨论了三阶张量的各种最佳秩－1逼近性质并建立了易于执行的数值算法；研究了一般高阶对称张量的最佳秩-1逼近与最佳对称秩-1逼近的性质;应用该性质，建立了求解齐次多项式优化问题的幂算法；研究了对称张量的秩分解与对称秩分解的关系，部分地回答了Comon猜想；对于单纯形上的多二次优化问题，建立了多种多项式时间逼近界算法；在相关优化及应用领域也做了部分研究。本项目目前资助发表论文14篇，其中SCI论文13篇，另有一篇接受发表。本项目资助相关人员参加国际会议多次。