抽象映射下的离散薛定谔算子的谱性质研究

The discrete Schrödinger equation is one hot spot of Hamilton dynamical systems, and researched by many mathematicians in these years. The aim of this project is to research the properties of the spectrum of the discrete Schrödinger equation with the abstract map, such as the Anderson Localization and the continuity of the Lyapunov exponent; at the same time, we also want to consider the relationship between these two properties and the assumption of the abstract map. The study of these two properties is very important: the former is one significant concept in material science, which decides whether the material conducts; the latter is one central concept in dynamical systems, and draw a lot of attention by the many mathematicians in these field.

离散Schrödinger方程是目前Hamilton动力系统研究的热点之一，吸引了大量数学家的关注。本项目旨在研究离散Schrödinger方程在抽象映射下的谱性质，如Anderson Localization以及Lyapunov指数的连续性等；同时，我们也希望探索上诉两个性质的成立与否与抽象映射所满足的条件的关系。这两个性质的研究有着重要的意义，前者是材料科学中一个重要概念，关系着材料的导电性；后者作为动力系统的核心概念之一，被本领域众多数学家所关注。

本项目题为"抽象映射下的离散薛定谔算子的谱性质研究",主要研究在离散解析薛定谔算子的框架中引入如项目书中举例提出的各类抽象映射下的谱问题和动力系统问题,如算子谱的类型,谱集的几何性质,又如算子谱方程所对应的动力系统的李雅普诺夫指数的正性和连续性的问题..目前,在这个项目的资助下,我们已经完成的可验证的工作如下:首先,我们研究了二阶差分拟周期解析哈密顿算子所对应的动力系统的李雅普诺夫指数的连续性问题.我们给出了其霍尔德连续性的准确表达式,并首次指出其霍尔德指数与算子中的函数在环面上的零点个数有关..而之后,我研究了一大类可以统一表示成某种具有斜积形式的抽象映射下的离散解析薛定谔算子的李雅普诺夫指数的正性.我们证明了当势能函数对应的系数充分大时,不管我们取成具体哪种映射,其李雅普诺夫指数都是恒正的.我们将这种特性应用在非拟周期映射中最著名的斜积映射上,第一次证明了在此映射下的离散解析薛定谔算子的多个结论的非扰动性,这些结论包括正李雅普诺夫指数,弱霍尔德连续性,纯点谱和安德森局域化以及存在区间谱集合等.我们也正在研究将这种非扰动性应用在量子受击转子模型中,希望可以得到在这一模型中取得更好的结论.