具低复杂度序列势的离散薛定谔算子谱结构

本项目拟研究具低复杂度序列势离散薛定谔算子谱结构，主要包括一维Sturm势算子谱的分形维数，代换序列势算子的谱测度维数，二维Sturm势算子谱结构，一维近Mathieu势谱结构。在过去的三十多年中，人们已经看到，该问题的研究既与物理有紧密的联系，为相关的物理研究提供理论基础，又极大地丰富和发展了相关的算子谱、分形几何与动力系统理论。对一维情形的研究，我们已经有了较好的基础和成果。预计通过发展高维Cookie-cutter-like动力系统维数理论，我们能给出Sturm势谱分形维数的准确表达式。对Toeplitz和Thue-Morse序列势算子谱，我们将着重研究其谱测度的维数，并由此推广到一般代换序列势算子谱的研究。借助于二维Sturm序列的定义，我们还将开始二维Sturm势算子谱结构的研究。

经过项目组全体成员三年的工作，本项目的核心目标获得了令人满意的结果。本项目拟定的5个问题中，对两个核心问题(Sturm势谱结构，代换序列势谱的结构)和相关工具的研究获得了超过预期的好进展。所得部分结果发表在Transactions of the American Mathematical Sociery, Ergodic theory and dynamical systems, Annales Henri Poincare等高水平杂志上。任意Sturm势谱结构的解决是一个令人意外的好结果，已经成文，还在进一步修改提炼中。另两个本着尝试的目的提出的问题虽然因为太困难没有好的进展，但是也有了一定的积累，为以后的研究打下了好的基础。