基于部分数据Calderón问题的理论分析、数值计算及其应用

This project is mainly concerned with the theoretical analysis, numerical calculation and application for the Calderón problem with partial data. By taking the 3D Calderón problem with complex boundary conditions as the research object. The following problems are studied by using complex analysis, Carleman estimation and the mathematical theory of inverse problem: First, the equivalent differential equations are derived by using the complex geometric optical transformation, and the correlation energy inequalities for the partial measurement data are obtained by the Carleman estimates with limiting weights. The uniqueness of the Calderón problem with partial data will be proved; Second, combining the reflection arguments and introducing the appropriate Sobolev space, it is proved that the increasing stability for the problem by using multi group partial measurement data in the case of multi excitation source; Third, in view of the nonlinearity and ill-posedness of Calderón problem, combining nonlinear analysis with specific physical properties of nondestructive testing of electric field, an effective regularization method is designed in numerical calculation. In particular, using the partial measurement data of multiple excitation sources to design a stable successive linearization algorithm. The corresponding relationship between the partial measurement data and the physical properties of measured object is established through theoretical analysis and numerical calculation, and the above results are applied to solve a practical engineering nondestructive testing problem.

本项目针对基于部分数据Calderón问题开展理论分析、数值计算及其应用研究。以带有复杂边界条件的三维Calderón问题为研究对象，拟利用复分析、Carleman估计以及反问题数学理论研究如下具体问题：第一，使用复几何光学变换推导等价微分方程组，利用带某些限制权的Carleman估计，得到边界部分测量数据相关能量不等式，证明部分测量数据下Calderón问题唯一性；第二，结合反射原理，在多激励源情形下，引入适当的Sobolev空间，证明利用多组电场部分测量数据增加反问题稳定性；第三，针对Calderón问题的非线性性和不适定性，数值计算中利用电场无损检测的具体物理特性结合非线性分析设计有效的正则化方法，特别是利用多激励源不完全数据设计稳定的逐次线性化算法。通过理论分析和数值计算建立部分测量数据与被测物物理性质之间的对应关系，并利用上述结果解决一类工程实际无损检测问题。

电磁无损检测中涉及的电导率反演问题和电磁反散射问题在工业生产，医学成像以及国防军事等众多领域都有十分重要的应用。相关研究为数学物理反问题研究领域中的一个研究热点。.本项目主要针对电磁场中正反问题进行研究。设计了基于部分观测数据下的多频逐次线性化算法反演不连续介质。研究了周期结构中电磁波和弹性波方程正问题适定性理论。针对几类非线性波传播问题开展高精度数值计算方法研究。证明了界面复合反散射问题的唯一性和局部稳定性。另外还开展了Navier-stokes方程相关正反问题的数值方法研究。具体内容如下：.第一，针对不连续介质反问题的非线性性和不适定性，利用多频不完全数据设计逐次线性化算法，建立部分测量数据与被测物物理性质之间的对应关系，得到了一种重构不连续介质的有效数值算法。针对电磁波散射与反散射问题，得到了利用界面两侧的观测数据可以同时确定粗糙表面及其上方（下方）障碍体的反问题唯一性结果，进一步研究了反问题的局部稳定性。同时发展了一种TRM直接成像算法，利用有限孔径数据反演粗糙表面及其上方的障碍体。.第二，针对周期结构中的电磁场问题开展研究，建立了三维时域电磁波在双周期结构中传播的数学模型。针对问题几何结构，提出利用压缩坐标变换的方法结合波有限传播速度的思想，将散射问题转化为有限时间区间上的初边值问题。通过引入适当的Sobolev空间，证明此散射问题弱解的唯一性, 并利用能量分析方法对解建立稳定性估计和具有显式时间依赖性的先验估计。进一步，研究了双周期结构中弹性波传播问题的适定性。.第三，研究了利用Navier-Stokes方程涡度-流函数形式描述的多涡合并问题。通过结合有限差分法和有限体积法，提出了一种求解Navier-Stokes方程涡度-流函数形式的数值方法。证明了该方法在每个时间步是唯一可解的。考虑到反演涡度场初始位置的重要性，还提出了利用部分数据结合迭代方法重构初始位置参数的新算法，并通过数值实验得到了验证。另外，对广义RKDV和BBM等非线性波方程开展了高精度守恒数值方法研究，为进一步实现非线性反问题的科学计算奠定了理论和数值算法基础。.