量子Fisher信息及其性质的研究

The concept of Fisher information plays a key role in classical statistical estimation. Recently, Fisher information permeated into theoretical physics. It provides an innovative tool for studying certain fundamental problems of quantum mechanics from the viewpoint of statistical inference. Due to the non-commuting nature of operator, the version of quantum Fisher information is not unique. First, we will investigate the properties of known quantum Fisher information, which include convexity, superadditivity and the order structure. We will also discuss their applications in quantum uncertainty, lower bound to the variance of parameter estimation and quantum entanglement. Then we will introduce a new type of quantum Fisher information and investigate its properties and applications.

在经典统计推断中，Fisher 信息作为参数化概率密度内在信息多少的度量，具有重要的意义。近年来，Fisher 信息也被应用到理论物理特别是量子力学中，由于算子的不可交换性，量子 Fisher 信息的定义多种多样，本项目首先研究既有的量子 Fisher 信息的性质与应用，包括凸性、超可加性和相互间大小关系，以及在描述量子不确定性、量子无偏估计方差的下界、量子纠缠程度中的应用。继而，我们将从经典 Fisher 信息的等价形式出发，定义新的量子 Fisher 信息，并研究它的性质与应用。

项目主要研究了一般形式的量子Fisher信息，它的基本性质（包括凸性、超可加性等）以及它在量子不确定性关系以及量子相关性刻画方面的应用。研究成果主要包括两方面：一方面是提出了一类直接推广的Wigner-Yanase-Dyson信息，研究了它的凸性与超可加性，并由此出发得到了一类推广的量子不确定性不等式。另一方面是提出了一类由单调度量导出的skew信息平均化得到的量子信息，证明了它的值与可观测基底的选择无关，给出了它的谱表示，并讨论了它在检测量子非局域性以及量子纠缠方面的应用。除此之外，项目的参与者Hansen教授还讨论了复合系统量子熵增量的凸性问题，并由此出发证明了von-Neumann熵的唯一性。