纽结的化妆手术问题研究

Cosmetic surgeries are those Dehn surgeries leaving the manifold unchanged. There are many examples for cosmetic surgeries, which shows the complexity of Dehn surgery theory; on the other hand, Gordon conjectured that there is no orientation preserving cosmetic surgery, which implies some kind of uniqueness of Dehn surgery. By studying the cosmetic surgery problem, we can explore both the uniqueness and the complexity, learn more about Dehn surgery, and further approach general 3-manifold problems using this technique. Thus, the cosmetic surgery problem is an important topic in low dimensional topology.. This project plans to analyze systematically the geometric structures of Dehn surgery, by combining ideas and techniques in classical 3-manifold theory, and carry out studies on the following two aspects: 1. By comparing the geometric structures of different Dehn surgeries, try to prove that there is no orientation preserving cosmetic surgeries for some families of knots, and make some new progress on the Cosmetic Surgery Conjecture; 2. study the differences and similarities between the two kinds of cosmetic surgeries and try to characterize chirality. This project plans to discuss to what extent can Dehn surgery have uniqueness property, and try to generalize the new ideas obtained from this project to other aspects of low dimensional topology.

化妆手术是一种不改变给定三维流形结构的Dehn手术，其广泛存在表明了Dehn手术的复杂性；另一方面，Gordon在ICM上提出了化妆手术猜想，认为保持定向不变的化妆手术并不存在，这暗示着Dehn手术又具有某种唯一性。研究化妆手术问题可以探讨这两种性质，加深对于Dehn手术的理解，从而进一步利用其解决三维流形理论中的各类问题。因此，化妆手术问题是低维拓扑中的重要课题之一。. 本项目拟结合三维流形经典理论中的思想方法，系统地分析纽结Dehn手术的几何结构，并展开对下述两个方面的研究：1、通过比较不同Dehn手术的几何结构，尝试证明某些类型的纽结不存在保定向的化妆手术，从而推动化妆手术猜想的证明；2、研究不保定向的化妆手术与保定向化妆手术的异同，并尝试对手性问题进行刻画。本项目旨在探讨Dehn手术在何种程度上具有唯一性，并将研究过程中产生的新观点推广到低维拓扑研究的其他方面。

如果某个纽结的两次Dehn手术得到的有向流形是同胚的，我们就称这两个Dehn手术为纯粹的化妆手术。著名的化妆手术猜想是指，三维球面中的非平凡纽结不存在任何纯粹的化妆手术。过去三十年来，许多学者对这一猜想进行了大量研究。尽管已经建立了多种限制，但整个猜想仍然未被解决。在这个项目中，我们主要研究关于卫星纽结的这一猜想。借鉴线缆纽结的结果，我们结合三维流形的几何分解和组合学、发展对应技术，证明了如果一个纽结存在纯粹的化妆手术，那么这个纽结必然是素。对于一般的卫星纽结，我们也获得了一些部分结果。在探索与Dehn手术相关的工具时，我们也得到了有关表示体积的部分结果。