拟线性波动方程的长时间行为

The research of global existence and long time behavior for quasilinear wave equations with small initial data is an important topic in partial differential equations. As it is well known, for the space dimension n=3, a general quasilinear wave equations may not have global solution. For this reason, in 1985, Klainerman in 1985 introduced the null condition, and he proved that for quasilinear wave equations which satisfy null condition, the global existence for small data can be established. Further more, Lindblad and Rodniaski in 2003 defined the weak null condition. In our research project, we consider the following quasilinear wave equation in dimension n=3:. ∂_t^2u-(1+u)∆u=h^(αβ,γ)∂_αβ^2u∂_γu （1）. Here the right hand side of the equation satisfies the classical null condition, due to the strong nonlinearity of the principle part in the left hand side, the equation (1) is a typical model for the equations satisfy weak null condition. It is known that the equation has global solution for small data. We plan to use the vector field method and weighted energy method in physical space and the space-time resonance method in phase space to investigate the long time behavior of the solution, especially for the scattering. On the basis of this research, we will consider the long time behavior for the 2-D quasilinear wave equations with small data.

对于拟线性波动方程小初值解的整体存在性与长时间行为，一直是偏微分方程领域的重要课题。已知在空间维数为三维的情形下，对于一般形式的方程不一定有整体解，需要加结构条件。为此，Lindblad和Rodnianski在2003年提出了弱零条件的概念。在我们的研究课题中，主要考虑如下形式的三维拟线性波动方程：. ∂_t^2u-(1+u)∆u=h^(αβ,γ)∂_αβ^2u∂_γu （1）. 这里方程右边的部分满足经典的零条件，此时方程（1）为满足弱零条件的典型情况。目前已知方程（1）有小初值整体解。我们利用物理空间中的向量场方法，加权能量估计方法，以及位相空间中的时空分部积分技术研究（1）的小初值解整的长时间行为，特别是散射现象是否发生；在此基础上，我们进一步研究满足零条件的二维拟线性波动方程的小初值解长时间行为。

对于拟线性波动方程小初值解的整体存在性与长时间行为，一直是偏微分方程领域的重要课题。已知在空间维数较低（二维及三维）的情形下，对于一般形式的方程不一定有整体解，需要加结构条件。为此，Klainermann在1984年对三维拟线性波动方程提出了零条件的概念，Alinhac在2001年将零条件推广到了二维的情形，在满足零条件的情形下，可证明拟线性波动方程具有小初值整体解并得到解的衰减估计。进一步地，Lindblad和Rodnianski在2003年提出了更一般的弱零条件的概念。2020年，Deng和Pusateri考虑了如下形式的三维拟线性波动方程：.∂_t^2u-(1+u)∆u=0 （1）.此时方程（1）为满足弱零条件的典型情况。Deng和Pusateri应用了物理空间和位相空间的双重二进分解证明了关于(1)的解的一类修正型散射结果。. 在我们的研究课题中，首先考虑了如下更一般形式的三维拟线性波动方程：. ∂_t^2u-(1+u)∆u=h^(αβ,γ)∂_αβ^2u∂_γu （2）.这里方程右边的部分满足经典的零条件，此时方程（2）仍然满足弱零条件。我们经过细致的观察，发现仅需使用位相空间的单重二进分解即可得到(2)的修正型散射结果，大幅简化了Deng和Pusateri工作中的运算。进一步地，通过利用物理空间中的向量场方法，加权能量估计方法，以及位相空间中的时空分部积分技术，我们在余项误差控制中较Deng和Pusateri的结果多争取到了接近1/2阶的衰减速率。.对于二维的情形，由于满足弱零条件的二维拟线性波动方程的整体存在性及长时间行为研究更为困难，我们转而考虑满足零条件的二维拟线性波动方程。本项目的主要研究成果是：对于如下形式的二维拟线性波动方程：.∂_t^2u-∆u=g^jk(∂u)∂_jk^2u (3).我们假定方程右端满足Alinhac提出的二维零条件，基于Alinhac的整体存在性结果，我们运用震荡积分的展开结果和时空分部积分技术构造出了解u的profile函数U,并证明了u-(1/|x|)U在作用了若干阶求导运算之后具有足够快的衰减速率，最后，我们得到了(3)的整体解将会散射到与(3)密切相关的一类线性波动方程的解。