波动方程解的长时间动力学行为研究

This program will combine stability analysis (modulational stability argument、stability of self-similar solution and scattering solution，etc) , harmonic analysis (oscillatory integral estimate、space-time localization argument、space-time resonance decomposition and asymptotic orthogonal technique, etc) and functional analysis (Sturm-Liouville operator、spectral analysis、concentration-compactness argument and variational argument, etc) to focus on the long time dynamics of the solutions for the classical physical models - energy critical wave equation, energy critical Klein-Gordon equation, nonlinear Schrodinger equation with derivative, Hartree equation and Yang-Mills equation, etc. This program will help us to make an overall and comprehensive understanding of the physical evolution process， to make a breakthrough in the academic method and to make an upgrade in our academic ability.

本项目将结合稳定性分析（调制稳定分析、自相似解稳定性分析及散射解稳定性等），调和分析工具（振荡积分估计、时频局部化分析、时频共振分析及渐近正交技术等）和泛函分析（Sturm-Liouville算子理论、谱理论、集中紧技术及变分原理等），集中精力对典型物理模型-能量临界波动方程、能量临界Klein-Gordon方程、导数薛定谔方程、Hartree方程及Yang-Mills方程等解的长时间动力学行为进行深入的研究，以期对相关物理演化过程有更全面、更深刻的认识，在研究方法上有所突破，在理论研究实力方面有所提升。

本项目主要结合现代分析及动力系统原理研究几类（色散）波方程解的长时间动力学行为。首先，利用变分原理、结构分析、位势井方法刻画出导数薛定谔方程双参数孤子解的存在与唯一性，能量空间中整体适定不变集刻画；利用扰动方法、调制稳定性、Lyapunov稳定性，结合守恒律及局部化技术研究次临界参数弱相互作用多孤子解的轨道稳定性；并将方法应用到广义导数薛定谔方程、点态位势薛定谔方程孤子解稳定性研究中。其次，利用反向Strichartz估计构造陷阱位势临界波动方程不稳定激发态的中心稳定流形，结合单通原理、集中紧技术及能量输运格式，将局部性质延拓成整体性质，解决位势波动方程不稳定激发态可形成有限余维中心稳定流形；最后，利用I-方法（几乎守恒律）、相互作用Morawetz估计、长程Strichartz估计及局部光滑效应解决非聚焦Hartree方程在几乎临界Sobolev空间上的整体适定与散射。