两类非线性波动方程的拟周期解研究

The existence problem of quasi-periodic solutions for nonlinear wave equations is one of the most active resesrch topics in the fields of mathematical physics and applied mathematics. This project plans to study the quasi-periodic solutions for two kinds of nonlinear wave equations by applying Nash-Moser theory and infinite dimensional KAM theory. Specifically, we prove the existence of quasi-periodic solutions for quasi-periodically forced nonlinear wave equations in higher spatial dimension. The proof is based on a Nash-Moser iterative scheme. The key estimates for the inverse linearized operators are obtained by a multiscale inductive argument, which is more difficult than for NLS due to the dispersion relation of the wave equation. We prove the separation properties of the small divisors assuming weaker non-resonance conditions. We prove the new infinite dimensional KAM theorem which implies the existence of quasi-periodic solutions for Hamiltonian derivative wave equations by introducing the formulation of quasi-T?plitz functions and applying KAM iterative scheme. The key point in the proof is the asymptotic estimate on the perturbed normal frequencies after the KAM iteration, which is achieved by exploiting the quasi-T?plitz property of the perturbation. We prove that the second order Melnikov non-resonance conditions are fulfilled for a set of parameters with positive measure.

非线性波动方程的拟周期解的存在性问题是当今数学物理和应用数学领域中非常活跃的研究课题之一。本项目拟利用Nash-Moser理论和无穷维KAM理论研究两类非线性波动方程的拟周期解。具体地说, 利用Nash-Moser迭代方法证明带拟周期强迫项的高维非线性波动方程的拟周期解的存在性；由多尺度分析得到对可逆线性化算子的关键估计, 由于波动方程的色散关系, 这种估计要比非线性薛定谔的困难；在更弱的非共振条件下证明小除数的分离性质；通过引进拟T?plitz函数和利用KAM迭代方法证明新的无穷维KAM定理, 得到带导数非线性项的波动方程的拟周期解的存在性；证明的关键问题是对KAM迭代之后的扰动法向频率的渐近估计, 这个估计可以利用扰动项的拟T?plitz性质得到；证明满足二阶Melnikov非共振条件的参数构成一个正测集。

波动方程是数学物理和应用数学领域中一类非常重要的偏微分方程。许多数学家和物理学家关注波动方程的拟周期解。非线性波动方程的拟周期解问题研究是一项极具挑战性的课题, 具有重要的理论意义和实用价值。本项目在非线性波动方程拟周期解的已有研究结果之上, 研究了两类特殊的非线性波动方程的拟周期解。. 本项目利用 Nash-Moser 迭代方法证明了一类带拟周期有限可微非线性项的高维波动方程的拟周期解的存在性。利用多尺度分析得到了每一步 Nash-Moser 迭代中可逆线性化算子的关键估计,保证了Nash-Moser迭代序列收敛。在较弱的非共振条件下证明了小除数的分离性质并给出了 Nash-Moser 迭代中参数的测度估计。验证了满足由 Nash-Moser 迭代方法得到的存在性定理的频率向量的存在性,并对参数集进行了测度估计。. 本项目研究了一类带导数非线性项的一维波动方程, 通过引进拟 Töplitz 函数和利用 KAM 迭代方法建立了新的无穷维 KAM 定理, 得到了拟周期解的存在性。首先给出了拟Töplitz函数的定义和性质。在KAM迭代过程中,求解调和方程,对每一次迭代之后的哈密顿函数、标准型和扰动项进行估计,保证迭代可以进行,并对参数的测度进行了估计。证明了法向频率的高阶衰减估计和扰动后的法向频率的渐近衰减估计,验证了二阶 Melnikov 非共振条件成立, 并且满足二阶 Melnikov 非共振条件的频率参数构成一个正测集。通过验证满足所得到的KAM定理的各项条件,将得到的KAM定理应用到所研究的带导数非线性项的一维波动方程。. 项目组还研究了几类非线性微分方程解的性质,所得结果为我们在波动方程的拟周期解研究中遇到的各种估计提供了有力的支持。项目组通过参加国际国内学术会议、学术访问和邀请专家报告等进行学术交流,其中在会议上作了5次学术报告。我们指导毕业硕士研究生24名,他们都通过了硕士学位论文答辩,并获得了理学硕士学位。