粘弹性Oldroyd型流体运动方程长时间行为的快速逼近算法研究

Research on fast approximation algorithms for the equations of motion of viscoelastic Oldroyd-type fluid is great significant in the plastic processing, the biomedical science and so on. The results about this problem in the literatures almost focus on one-order convergence coupled method on a finite time interval, and only errors generated by time discretization and spatial discretization are considered, but lgnore the error generated by solving the nonlinear discrete system. These algoritms always converge slowly, and need lots of computational cost, even worse, they are not stable for the long time approximation. Based on the approximation of the long time behavior of the equations of motion of viscoelastic Oldroyd-type fluid, this project focuses on two parts: Firstly,to design the efficient discrete schemes, by applying TVD techniques, decoupled methods, projection techniques and so on, higher-order convergence decoupled discrete schemes and new EVSS methods are proposed, which are wished to be high performance; Secondly, to solve the nonlinear discrete system fastly, by using the correction method and the multigrid method, robust iterative algorithms are suggested, which can reduce the computational cost a lot when solving the discrete system. By this project, we hope that fast and consistent approximation algorithms could be found for the long time behavior of the problem, uniform stabilities and errors could be proved, and some corresponding experiments would be shown. We also hope that the results in this project would be good references for the development of computational viscoelastic fluid dynamic and industry.

粘弹性Oldroyd型流体运动方程快速逼近算法的研究在塑料加工、生物医学等领域都有非常重要的意义。目前已有的工作主要集中在有限时间区域上的耦合一阶时间离散格式，并且只考虑了问题进行时间与空间离散时产生的误差，算法计算存储量大，收敛速度慢，且在长时间条件下稳定性差。围绕粘弹性Oldroyd型流体运动方程长时间行为的逼近，本项目拟从两方面进行研究：一，方程离散格式的设计，运用TVD技巧、解耦方法和投影技巧等，提出了高阶解耦时间离散格式和新EVSS方法，提高了离散格式的性能；二，方程离散后产生的非线性系统的求解，结合误差校正方法和多层网格方法等，拟设计出求解非线性离散系统的强健的迭代格式，降低算法在求解部分的计算开销。通过该项目的研究，力求能探索出长时间条件下，该问题的高性能快速逼近算法，并证明逼近解的一致稳定性与误差，提供相应的数值模拟结果，为计算粘弹性流体力学的发展和工业生产应用提供参考。

流体运动与人类的生活一直有着密不可分的关系。在描述它们的数学模型中, 当应力张量与形变率张量之间满足线性关系时，模型描述的是牛顿流体。当它们之间满足非定常非线性关系时，模型描述的是非牛顿流体。目前已有的研究主要集中于低频（大粘性）问题，专注于时间与空间离散时产生的误差，算法计算存储量大，收敛速度慢，且在长时间逼近时效果差。围绕流体运动方程高效逼近算法的研究，该项目取得的主要结果如下：.1）. 结合投影技巧等，提出了一种求解粘弹性Oldroyd流体运动方程的改进的EVSS 方法。该方法大大的减少了运用经典EVSS 方法时需引入的额外自由度，减少计算存储量，加快计算速度。证明了新方法与原有方法的等价性，研究结果表明在取得相同计算效果的情况下，新方法的计算性能更优（见附件代表作1）。.2). 运用误差校正方法，我们提出了一种求解由粘性流体运动方程产生的非线性离散系统的高效迭代算法。并且给出了稳定性与误差估计的证明。这些理论结果考察了迭代格式与频率之间的关系，研究结果表明运用新的算法不仅可以计算高频问题，而且在计算低频问题时所花时间更少，计算速度更快（见附件代表作2）。.3）. 分析了具有非齐次边界条件的不可压缩流体所产生的非线性方程组的几种迭代算法，这些方法不仅精确的刻画了迭代格式的收敛性与方程参数的关系，而且改进了已有文献中的结果（见附件代表作3）。.4）. 提出了一种求解流体中高频振动问题中压力场的高效差分算法。运用该方法可以避免出现已有算法中存在的数值污染，对高频问题非常高效（见附件代表作4）。.5）. 提出了在极坐标和球坐标下，求解流体中高频振动问题的压力场的方法。该方法在一些特殊计算区域上不存在数值污染，打破了高维空间中数值污染不可避免的论断，极大的提高了高维空间中高频问题的计算速度（见附件代表作5）。.6）. 研究了无界周期边界情况下一类流固耦合问题解的存在唯一性，并结合Dirichlet- Neumann映射对该问题的有限元离散解进行了研究（见附件代表作6）。.通过该项目的研究，探索了粘弹性流体和粘性流体中几个典型难点问题的高性能快速逼近算法，并对有关算法给出了稳定性与误差分析，提供丰富的数值模拟结果，对计算流体力学等相关学科的发展和工业生产应用具有一定的参考价值。