紧Hermitian流形上复Monge-Ampère型⽅程及曲率研究

Geometric analysis on non-Kahler manifolds is a very active research area in mathematics and physics in recent years. Buiding upon our earlier work on complex Monge-Ampere equation and Chern-Ricci flow on compact Hermitian manifolds and curvatures and geometry of general Hermitian manifolds, we plan to use techniques in complex geometric analysis to study the following questions: (1) Use new complex Monge-Ampere type equations to study the relation between holomorphic sectional curvature and Ricci curvature on non-Kahler manifolds. (2) Study the existence and uniqueness of Levi-Civita Ricci flat metric on general Hopf surfaces( typical non-Kahler surface). (3) Consider using topological obstruction given by some curvature conditions on Hermitian manifolds to prove that on 6-dimensional sphere there is no complex structure compatible with metrics which have positive sectional curvature or satisfy more general conditions.. The proposed research will not only shed some light on some basic problems in complex geomtry, but also enlarge the theory of non-Kahler geometry.

复几何分析，特别是非Kahler流形上的几何分析是近年来数学和物理学中的热点研究领域之一。在申请者和项目组成员关于紧Hermitian流形(非Kahler)上复Monge-Ampere方程和Chern-Ricci流的工作以及对Hermitian流形曲率与几何研究的基础上，本项目拟通过复几何分析的手段来研究以下问题：.1. 利用新的复Monge-Ampere类型方程研究非Kahler流形上全纯截面曲率与Ricci曲率的关系。.2.研究一般的Hopf曲面(典型的非Kahler曲面)上Levi-Civita Ricci平坦度量的存在及其在某种意义下的唯一性。.3.考虑用Hermitian流形上某些曲率条件给出的拓扑限制证明六维球面不具有与正截面曲率度量相容的复结构及作进一步推广。.本项目旨在为复几何中的一些基本问题提供新思路，对复几何分析的方法作新的探索, 并进一步丰富非Kahler几何的理论。

全纯截曲率作为高斯曲率在高维复流形上自然的推广，是Hermitian流形上最重要的曲率之一。我们研究了全纯截曲率为负常数或零的紧Hermitian流形，证明了在度量为局部共形凯勒的情形下，它一定是凯勒的，从而其万有覆盖双全纯等距于复双曲空间或复欧氏空间。我们也给出例子说明紧致性条件不能由完备替换。上述结果为Hermitian几何空间形式问题在高维的新进展，促进了对非凯勒几何中复空间形式这一基本问题的研究。Schwarz 引理刻画了流形曲率与全纯映射度量递减的关系，是几何与分析中一个基本的工具。我们研究了Yau的, Royden的和Tosatti的Schwarz引理中等号在一点成立的情形，推广了Ahlfors-Schwarz 引理在黎曼面上等号一点成立则处处成立的结果。最近，Ni应用偏微分方程中viscosity解的方法证明了凯勒流形上度量递减系数仅依赖于全纯截曲率的 Schwarz引理。我们用J-全纯圆盘的技巧推广了这个结果，证明了在适当的假设下，近Hermitian流形上度量递减系数仅依赖于初始流形全纯截曲率下界和目标流形全纯截曲率上界的 Schwarz引理。广义复结构是Hitchin研究广义Calabi-Yau流形时引入的几何结构。我们用近双Hermitian结构刻画了广义近复结构的可积性，证明了紧致可定向四维流形存在奇数型广义复结构当且仅当其容许横截全纯的二维叶状结构。另外，我们研究了紧Hermitian流形上一类带梯度项的完全非线性椭圆方程，得到了依赖于解的梯度的二阶先验估计及相关应用。