不变几何流中的非线性偏微分方程

不变几何流在图像处理、计算机视觉和晶体增长等学科有着非常重要的应用。描述不变几何流中的数学模型是非线性偏微分方程，其中包括不可积和可积的非线性偏微分方程。本项目主要研究描述不变几何流的非线性偏微分方程包括非线性偏微分方程的对称群、适定性和可积性，着重研究解的几何性质如凸性（或凹性）和长时间行为。其中不可积偏微分方程大多数是退缩的非线性抛物型方程，仅具有弱极值原理，但这些方程具有丰富的对称群，利用对应的群不变解和Sturm的相交比较原理可以研究方程的一些几何性质如凸性或凹性、长时间行为、解的Blow up 和熄灭。通过寻求方程的一些新的不变量可得到的一些新的Harnack不等式和解的估计。而描述不变几何流的可积非线性偏微分方程方程具有有趣的解，该项目将研究这些解所对应的曲面曲线的运动规律。这些都是国内外学术界十分关注的前沿课题，该研究对微分几何和应用学科有重要的指导作用和应用价值。