具有三条奇异纤维的曲面纤维化的研究

Fibrations are important tools to classify algebraic varieties and to study moduli spaces. For non-trivial fibrations, if they have minimal number of singular fibers, then they also have some remarkable arithmetic and geometric properties. For the fibrations of algebraic surfaces, many such fibrations can be defined over an algebraic number field. In particular, fibrations with some extremal properties can usually be constructed by using base changes from fibrations over rational curve with 3 singular fibers. For fibrations on higher dimension varieties, there are less results and many unsolved interesting problems are open. Our main purpose of this project is to study the following four problems: 1. Generalize Beyli’s theorem from curves to algebraic surface. 2.Study fibrations over rational curve with some extremal properties, especial fibrations with three singular fibers. 3. Give a criteria for the Mordell-Weil group to be trivial. 4. Find the upper bounds of Hodge number h^{1,1} and the rank of Mordell-Weil group for high dimensional case, and solve a problem proposed by Mok in 1991.

纤维化是代数簇分类及模空间研究的重要工具。对于非平凡的纤维化，它如果具有极小的奇异纤维数目，那么其有一些引人注目的算术和几何性质。对于曲面纤维化情形，这样的纤维化很多都是可以定义在数域上的。特别地，很多极端纤维化都可以由有理直线上具有三条奇异纤维的纤维化通过基变换得到。对于高维纤维化情形，相关结果还很少，有许多问题待解决。本项目主要研究以下几个问题: 1. 寻找在曲线上的 Beyli 定理在曲面上的推广形式。2. 研究射影直线上具有极小个数奇异纤维的纤维化，特别是具有三条奇异纤维的纤维化。3. 给出纤维化的 Mordll-Weil 群是平凡的判定条件，4. 对于高维代数簇的 hodge 数 h^{1,1} 和 Mordell-Weil 群的秩给出一些估计, 解决莫毅明1991年提出的一个问题。

纤维化是代数簇分类及模空间研究的重要工具。对于曲面纤维化情形，很多有趣的.纤维化都是可以定义在数域上的。特别地，很多极端纤维化都可以由有理直线上具有.三条奇异纤维的纤维化通过基变换得到。. 本项目围绕射影直线上具有极小个数奇异纤维的纤维化进行了研究。我们完成了射影.直线上具有2条或3条奇异纤维的纤维化的分类，结合了对应曲面的几何性质，研究了.这类纤维化的Mordell-Weil群，并将得到的部分结果推广到了高维。对于高维代数簇.的 hodge 数 h^{1,1} 和 Mordell-Weil 群的秩给出一些估计, 基本解决莫毅明1991年提出的.一个问题。此外也给出了一些在交换代数上的应用，给出了关于理想正则度的一些估计。