代数曲面纤维化的不变量及其应用

In this research, our main goal is to study the invariants of fibrations and their applications. (1) We study the relations between the modular invariants. For this purpose, we will prove some inequalities for Chern numbers of singular fibers, give the lower bounds of the modular invariants, prove Reid-Xiao conjecture for the relative invariants of nonhyperelliptic fibrations of genus 3 and find the formulas for the invariants of a trigonal fibration. (2) We will study the problem on the lower bound of the number of singular fibers. We study the properties of fibrations with 2 or 3 singular fibers. Moreover, we will prove Gurjar-Zhang's conjecture. (3) Compute the Chern numbers of foliations ,find their relations and give more precise classification by using the Chern numbers.

在这个项目中，我们主要研究纤维化的不变量的性质以及它们的应用。(1) 我们研究纤维化的模不变量的关系。为此要证明奇异纤维陈数的一些不等式，估计非常模情形下模不变量的下界， 证明亏格3非超椭圆纤维化的相对不变量的Reid-Xiao猜想，寻找三点式纤维化的不变量计算公式。(2)我们研究非半稳定奇异纤维个数的下界的问题。我们要研究最多含三条奇异纤维的纤维化的性质。此外，我们要证明Gurjar-张德琪猜想。(3) 计算叶状结构的陈数，寻找它们的关系，用它们研究叶状结构更精细的分类。

纤维化在代数几何中扮演了重要角色。纤维化不变量是重要的研究指标。在本项目中，我们主要研究以下问题：.（1） 纤维化和叶层化的不变量。谈胜利引入了叶层化的新不变量，它们在纤维化里就是模不变量。我们要计算黎卡提叶层、二重黎卡提叶层以及Lotka-Volterra叶层的新不变量，并得到斜率的上下界。我们还分类了所有代数黎卡提叶层。作为一个应用，我们得到了Gurjar-张关于重纤维的一个猜想的反例。.（2） 我们计算一类依赖覆盖技巧的纤维化不变量。比如，三点式纤维化的斜率和Mordell-Weil群的秩；比如稳定约化的极小次数，等等。.（3）我们研究奇异纤维的极小个数问题。我们还得到高维情形的典范类不等式、Arakelov不等式以及h11不等式，等等。.（4）基本群与纤维化。我们得到Gurjar-张关于基本群的一个猜想的反例、我们也研究与开曲面相关的一些基本群的问题。