Milnor纤维化与奇异空间的示性类

Hirzebruch introduced his famous \chi_y-geneus in the middle of the last century. His \chi_y-genus delicately reflects the interplay between the algebraic structure and the topological structure of a smooth projective complex manifold. However, a generalisation of his theory in singular spaces only had a history of slightly more than 10 years. The theory of Hirzebruch class is defined for singular spaces, and it unifies several existing characteristic class theories developed in the past 2 decades. In this article, we mainly discuss applications of Hirzebruch class theory on the study of complex analytic singularities and their Milnor fibres. Our project will focus on questions arising from the following four directions: (1) Establishing a direct relation between Hirzebruch-Milnor classes of hypersurfaces and their Hodge ideals; (2) Generalising Thom polynomial theory by the theory of Hirzebruch classes, and studying the Chern classes of Milnor number constructible functions; (3) Studying the Hirzebruch classes of linear free divisors; (4) Exploring potential applications of Hirzebruch classes in combinatorics.

Hirzebruch在上世纪50年代引入了光滑射影复流形的\chi_y亏格。该亏格可以反映出光滑射影复流形的代数结构与拓扑结构之间的微妙关系。而Hirzebruch示性类则在十年前被首次提出，它是\chi_y亏格在奇异空间上的一种推广，并且它可以有效地统一近几十年内发展出的几种关于奇异空间示性类的重要理论。在本文中，我们主要讨论Hirzebruch示性类理论在研究复解析奇点及其Milnor纤维当中的应用。本项目将对以下四个方向中出现的问题展开重点研究：（1）建立Hirzebruch-Milnor类与Hodge ideal之间的直接联系；（2）通过Hirzebruch类推广Thom多项式理论，研究Milnor可构造函数的陈类；（3）研究线性自由除子的Hirzebruch类；（4）探索Hirzebruch类在组合数学中的应用。

全纯函数的Milnor纤维，是消失圈理论的核心，与可构造函数、可构造层以及D-module理论有着紧密的联系。本项目主要是从示性类的角度研究奇异空间的Milnor纤维。项目中包含了四个小课题：1.计算超平面配置的Hirzerbruch-Milnor类；2.研究Milnor数可构造函数的陈类；3.比较自由除子对数切丛的Hirzebruch类与虚拟Hirzebruch类；4.探索奇异空间的Hirzebruch类在组合数学中的应用。在项目执行中，我们主要研究了超平面配置的Hirzebruch-Milnor类以及超平面配置的霍奇谱、余维0上不含爆破的全纯映射的消失圈及其陈类、全纯线丛截面零点的Milnor类等课题，基本完成了申报书中计划的研究目标。.我们得到了以下重要结果。.1. 我们对于余维0上不含爆破的全纯映射的陈类的研究，拓展了文献中邻近圈消失圈理论的应用范围。特别是，我们在高维情况下推广了复几何中经典的Riemann-Hurwitz公式。将其应用于仅含孤立奇点的映射的形变问题上，我们推导出Milnor数可构造函数的托姆序列，解决了T.Ohmoto教授长达10年的一个猜想。.2. 我们利用相交格表达出了低维超平面配置的Hirzebruch-Milnor类，并得到了某些组合恒等式。.3. 我们证明了关于全纯线丛截面的整体全纯相交公式，推广了经典的Dubson-Ginzburg-Kashiwara-Le-Schurmann全纯相交公式。利用这一结果我们推导出混合结式的局部欧拉阻碍的公式。.