复合优化问题的增广拉格朗日对偶理论与敏感分析问题

A wide variety of important optimization problems in signal processing, image recovery, machine Learning and statistics can be formulated in compsite optimization problem, such as constraint optimization problem, maximal eigenvalue optimization, nuclear norm and matrix completion, least squares and regularized minimization problems and so on. Exploring these prbolems via convex optimizaion is one of the main research direction in this field. The aim of this project is to study the augmented Lagrangian duality and method of composite optimization problem, and the stability and sensitivity and proximal point methods of its regularized linearization problem as well as applying the obtained result to study eigenvalue optimization problem and matrix completion problems.

复合优化问题包括最优化、信号过程、图象处理、机器学习和统计中的很多实际问题， 例如约束优化、最大特征值问题、 矩阵的核范数问题、最小二乘问题和正则化极值问题等都可以用复合优化来描述， 利用凸优化的思想研究这些具体问题是这一研究领域的主要研究方向之一。 本项目旨在以凸分析、变分分析为工具研究复合优化问题的增广Lagrangian对偶理论和方法，正则线性化子问题的稳定性、敏感分析和邻近点方法；并应用一般成果研究特征值优化问题、矩阵完全化问题等。

本项目以凸分析、变分分析为工具研究了复合优化和本征值复合优化问题的增广拉格朗日对偶问题，给出增广拉格朗日乘子存在的二阶必要与充分条件；在自反Banach空间中，在某些附加假设和约束品性条件下，给出了线性扰动广义凸多面体集上的参数变分不等式系统的Lipschitz稳定性分析；对Asplund空间的下半连续渐进正则且次可微连续函数，给出其Mordukhovich次微分的强度量次正则稳定性的等价刻画；当空间是有限维时，研究了下半连续真凸函数的二阶增长条件的等价条件；给出了一类参数变分包含正则化函数的可微性及解的局部唯一性；构造了多块凸可分优化问题改进的乘子交替方向法以及Banach空间上两个函数和最小化问题的前后分离迭代算法；利用变分分析的方法给出了一类稀疏优化问题和一类秩约束矩阵优化问题的必要条件。