几类矩阵锥优化问题的最优性理论及增广拉格朗日方法

矩阵锥优化问题是目前优化领域的一个研究热点，它在统计分析，信息与图像处理，计算机视觉，机器学习，压缩感知等科学和工程领域有着重要的应用。本项目研究由四类矩阵范数定义的矩阵锥以及相应的矩阵锥约束优化问题，这类问题非常重要，因为目前绝大多数重要的矩阵优化问题都可纳入到这个框架之下。本项目以变分分析为基础，借助矩阵锥投影算子微分的最新理论成果，研究几类矩阵锥的变分几何与相应的矩阵锥规划的最优性理论。内容包括研究奇异值复合函数的二阶方向导数，几类矩阵锥的切锥，法锥和二阶切集合；建立矩阵锥规划问题的一阶与二阶最优性理论以及稳定性理论；借助于矩阵锥的变分几何与强二阶充分性条件，研究求解矩阵锥优化问题的增广拉格朗日方法的收敛速度；并用增广拉格朗日方法求解几个有重大实用价值的矩阵优化问题。本项目旨在获得几类矩阵锥优化问题的最优性理论，探讨增广拉格朗日方法的理论与实现，期望对矩阵锥规划的理论研究做出贡献。

本项目考虑由四类矩阵范数定义的矩阵锥以及相应的矩阵锥优化问题，旨在研究矩阵锥优化问题的二阶充分性条件和增广拉格朗日方法。由于新情况和新想法的不断产生，我们对研究计划进行了一定的调整。首先，本项目得到了非对称矩阵的任意奇异值的二阶方向导数的公式，这是研究矩阵锥的二阶切集的核心，而矩阵锥的二阶切集是研究矩阵锥优化问题的二阶充分性条件的关键；其次，由于矩阵锥优化问题与DC规划紧密相关，本项目研究了求解DC规划问题的序列凸近似方法，并利用DC规划方法求解了机会约束优化问题。然后，注意到增广朗格朗日方法中的子问题求解等价于半光滑方程组的求解，本项目研究了求解半光滑方程组的Levenberg-Marquardt方法。