参数变分系统的Lipschitz稳定性与优化问题

本项目旨在以变分分析为工具研究变分不等式系统的稳定性和敏感性分析问题,并应用于优化问题。通过对Banach空间中广义多面体集（即有限多个广义凸多面体的并集）进行二阶分析，即利用广义凸多面体集的原始数据给出其法锥 以及法锥映射的Mordukhovich co-导数和余切导数的表示，进而得到Banach空间上广义凸多面体集上的变分不等式系统解的Lipschitz稳定性和强Lipschitz稳定性的；将分离结构优化问题或带有均衡约束的规划问题（MPEC）的一阶最优性条件表示成多面体集上的变分不等式系统的形式，进而研究其Lipschitz稳定性； 研究多面体集上的变分不等式系统（或优化问题的KKT系统）的敏感性分析问题和分歧问题以及相关的投影算法和渐进点算法的收敛性。

本项目旨在以变分分析为工具研究变分不等式系统的稳定性和敏感性分析问题,并应用于优化问题。在自反Banach 空间中，研究了广义多面体集上参数变分不等式系统的解映射的co-导数的刻画以及解映射的Lipschitz稳定性,并进一步研究了带有线性扰动的广义凸多面体集上的结果。在Banach空间框架下研究具有等式和不等式约束优化的分歧问题，给出KKT系统出现分歧且有两条解曲线的条件。 我们研究了向量优化问题的二阶孤立局部极小点的二阶充分条件; 在无穷维空间中给出了具有分离结构的优化问题的必要条件，并应用其研究具有变分不等式约束的优化问题的必要条件。 研究了Bregman距离意义下函数的Moreau 包络函数的连续性、可微性和邻近映射的上半连续性和单值性等基本性质，并将上面的结论推广到Banach空间上。对复合优化问题的增广拉格朗日对偶问题， 我们利用Moreau包络函数给出增广拉格朗日函数的另一种表示，进而利用函数的上图导数给出了增广拉格朗日乘子存在的二阶必要和充分条件。并将上面结果应用到本征值凸复合优化问题上，给出了增广Lagrange乘子存在二阶必要条件和充分条件。在优化和变分不等式的算法方面，我们引入了变分不等式问题解集是次弱 sharp 极小的定义， 由此研究了邻近点算法的性质，并给出了邻近点算法有限终止的条件；借助于广义邻近点算子我们给出求解一类广义变分不等式的迭代算法，并证明了该算法在一致凸和一致光滑Banach空间的收敛性；我们考虑了求解无约束优化问题的一个新的共轭梯度算法，这种方法满足充分下降条件，证明其在Wolfe线搜索条件下是全局收敛的。 在赋范空间，通过引入 Banach 算子族的概念，将著名的De Marr’s 不动点定理推广到了非交换情形。应用这个结果，利用一个与以往不同的方法，我们解决了凸集上的不变逼近的公共不动点问题。我们举出一个反例，说明09年 Mathematical Programming 上 A. Coulibaly, J. -P. Crouzeix的文章给出的凸集条件数的刻画公式是错误的。