数域中素理想在算术级数中的平均分布

For the distribution of primes in arithmetic progression，there are Bombieri-Vinogradov theorem and Barban–Davenport–Halberstam theorem. These two theorems play very important roles in many problems in number theory. In our project, we will study the average distribution of prime ideals in arithmetic progressions over number fields. This belongs to the area where analytic and algebraic number theory meet. We will use analytic tools, such as large sieve and circle method, to study the moments of the error term in Chebyshev density thorem and establish Bombieri-Vinogradov and Barban–Davenport–Halberstam type theorems for sparse sets of moduli.

对于算术级数中的素数，我们有经典的Bombieri-Vinogradov定理与Barban–Davenport–Halberstam 定理。这两个定理在很多数论问题中都起着非常重要的作用。本项目主要在数域中研究素理想在算术级数中的平均分布问题。这属于解析数论与代数数论的交叉领域。我们将利用大筛法，圆法等解析工具研究Chebyshev密度定理中误差项的均值，对稀疏模情形建立相应的Bombieri-Vinogradov型定理与Barban-Davenport-Halberstam型定理。

数论对象在算术序列中的分布是数论中的经典问题。本项目研究数域中素理想在算术序列中的平均分布以及相关的算术序列中的数论问题，相应研究内容以及重要结果如下。.1. 对于数域中素理想在一种稀疏模算术序列中的分布，使用圆法得到了相应的 Barban-Darvenport-Halberstam 型定理。.2. 对算术序列中的除数问题，在模为素数幂的情形下，突破了经典的2/3 屏障。.3. 对于算术序列中无平方因子数的分布，也有类似于算术序列中的除数问题的 2/3 屏障。在平均意义下较大幅度的越过了这一屏障，改进了 1976 年 Hooley 的一个相关结果. .4. 估计了一类二项式形式 Kloosterman 和的均值上界，在一些范围上改进了2016年 Nunes 的相关结果。.5. 使用平方筛法给出了 Piatetski-Shapiro 序列中平方数个数的上界估计。.6. 将 Elliott 证明的除数函数相关的 Erdos-Kac 型定理推广到短区间情形，给出了相应的中心极限定理。