平均维数及动力系统中嵌入问题的研究

This project focuses on mean dimension theory, which is a newly emerging branch in dynamical systems. Mean dimension was initially introduced by M. Gromov around 2000 with a view towards geometric analysis, and was systematically developed by E. Lindenstrauss and B. Weiss who provided a significant application of mean dimension to dynamical systems, in particular, the embedding problem. This project aims to make further progress in this area. Precisely speaking, we concentrate on three directions as follows: (1) Calculate the explicit value of mean dimension of some typical and nontrivial dynamical systems. (2) Consider if a dynamical system can be embedded into Hilbert cubes in the context of countable discrete amenable group actions. (3) Study and try to refine the embedding function in the classical Bebutov-Kakutani dynamical embedding theorem. This project will provide a deeper understanding on mean dimension theory and dynamical embedding problems, and meanwhile, will distinguish among infinite entropy dynamical systems more precisely.

本项目的着眼点是动力系统领域中的平均维数理论。平均维数由Gromov于1999年从几何分析的观点引入，随即被Lindenstrauss和Weiss成功地应用到动力系统的研究中来，尤其是嵌入问题。在本项目中，我们主要致力于平均维数与嵌入问题的研究，具体地说，我们将研究以下三个课题：第一，对某些非平凡且典型的动力系统的平均维数进行具体计算；第二，研究在可数离散amenable群作用下，哪些动力系统可以嵌入Hilbert方体上的全转移；第三，试图对著名的Bebutov-Kakutani嵌入定理中的嵌入函数进行更加精细的刻画。本项目的研究工作将使人们更加深入地理解平均维数与动力系统嵌入问题，同时更加精细地区分无穷熵系统。

本项目主要研究动力系统复杂性理论，特别是与平均维数相关的嵌入问题。具体来讲，第一，构造了一个平均维数为二分之一但不能嵌入希尔伯特方体的极小amenable群作用；第二，建立了一个关于系统自乘积的平均维数的基本公式，即一个系统的n次自乘积的平均维数等于该系统平均维数的n倍；第三，证明对于具有连续统可扩性的Z^k作用，其内部复杂度在（k-1）维方向平均维数的意义下是一致有界的；第四，系统地研究了带宽一致有界的连续函数空间，计算了其平均维数，给出了两个系统共轭的等价条件以及构造了一个万有实数流；第五，对于非自治系统而言，其拓扑熵为零当切仅当其诱导系统的拓扑熵为零。该结论进一步推广了Glasner-Weiss定理。同时我们还指出了非自治系统与自治系统的一个本质差别，即Bowen不等式在非自治情形下不成立。