无平方因子数在算术序列中的分布

Let n be an positive integer. If for any prime number p dividing n, its square can not divide n. Then we say that n is a squarefree number. We will consider the distribution of squarefree numbers in the arithmetic progression. Specifically, for an positive integer q and gcd(a,q)=1, let S(x;a,q) be the number of squarefree numbers which are in the the arithmetic progression kq+a, k=1,2,3··· and don't exceed x. We will study the property of S(x;a,q) and hope to improve an result of Hooley.

设 p 为一个正整数, 如果对任意整除 n 的素数 p, 一定有 p 的平方不整除 n, 那么就称 n 为一个无平方因子数. 我们将考虑无平方因子数在算术序列中的分布问题. 具体来讲, 设 p 为正整数, 对 gcd(a,p)=1, 记 S(x;a,q) 为算术序列 kq+a, k=1,2,3··· 中不超过正数 x 的无平方因子数的个数. 我们将研究 S(x;a,q) 的渐近性质, 期望改进Hooley的一个结果.

本项目立项时，主要目标是改进上述Hooley的经典结果，将渐进公式保持一致成立的q的范围扩大，使 x 的指数能过突破1/3。但经过长时间的深入研究，我们逐步认识到使用目前的数学工具，要达到这一目标是非常困难的。可能这也是这一问题至今没有什么进展的原因之一。虽然这样，我们并没有放弃对这一课题的继续探索。经过持续一年的不懈努力，仍然得到了很多有意义的进展和结果，期间于SCI收录期刊Acta arith. 发表文章一篇。.我们的主要结果概括来讲是对算术序列的模q进行一定限制之后，突破了Hooley结果中x的幂次1/3。 具体地，我们得到了S(x;a,q)的渐进公式对于不超过x^(1/3+1/246-ε)的具有特定分解形式的模q一致成立。这些q首先需要是无平方因子数，同时还必须足够光滑。这虽然没能完全的改进Hooley的结果，但重要意义在于表明了1/3这一障碍并不是没有希望突破的。另外，除了考虑无平方因子数的分布之外，利用项目研究中所积累知识和经验，我们还考虑了其它数论对象的分布问题。例如，我们对于周长不超过x的原直角三角形的分布也进行了研究，同样得到了很多有价值的结果。