非线性扩散方程在半平面上的传播现象

We will study the spreading phenomena on the half plane for nonlinear diffusion equations (that is, the solutions of the equations first develop into interfaces and then the interfaces propagate in the space according to some laws), including the conditions ensuring spreading happening and the characterization for the spreading phenomena. We will study the influence of the following factors on the spreading phenomena: boundary conditions (including the cases where the boundary value is given by a traveling wave or by the solution of a separate diffusion equation on the boundary), free boundary conditions, advection effects, temporal/spatial heterogeneity (e.g. the change of the intrinsic growth rate caused by the global warming or the climate difference etc.). According to these factors arising from the applied fields we will study several typical problems, for each of them, we first construct various traveling waves by using the theory of elliptic equations, then use the compactly supported traveling waves to give the sufficient condition for spreading happening, and use the traveling waves in the whole real line or the traveling semi-waves on the half line to characterize the spreading speeds and profiles of the spreading fronts.

本项目拟研究非线性扩散方程在半平面上的传播现象（spreading phenomena，即方程的解首先形成清晰的迁移层，然后这个迁移层在空间中以特定的方式推进），包括传播发生的条件和传播特征的刻画等等。我们将研究以下要素对传播现象的影响：边界条件类型（包括以行波或一个在边界上独立扩散的方程的解为边值等情况）、自由边界条件、对流效应、时空非均匀性（如由全球变暖、气候差异等原因引起的增长率改变等）。针对这些有应用背景的要素我们将研究几个有代表性的问题，对每个特定的问题，首先使用椭圆方程理论构造几种行波解，用二维有紧支集的行波给出传播发生的充分条件，用一维实轴上的行波或半轴上的半波来刻画传播速度和传播面形状等传播特征。

本项目执行期间，团队成员积极工作，取得了一些有实质意义的新成果，完成了计划。根据计划我们研究了半平面等带边无界区域中的非线性扩散方程及其相关的平均曲率流方程，研究了边界条件、自由边界条件、对流效应、空间和/或时间非均匀性以及区域几何形状对解的传播特性的影响。(1)边界条件的影响: 我们研究了一维半直线和锥形区域(包括半平面)上的单稳态反应扩散方程，构造了一个新的整体解，证明了传播速度与区域形状、传播方向和边界条件无关；我们还构造了连接两个周期行波的整体解和在一定边界条件下趋向于Grim Reaper的解。(2)自由边界的影响: 考虑了高维空间中具有自由边界的反应扩散方程，分析了解的传播特性；利用平均曲率流动方程，研究了界面在锥中的传播，阐明了周期边界条件对解的传播的定性和定量影响；对于具有自由边界的一维反应扩散方程，我们给出了对流大小的划分判据，以及对流对栖息地扩张速度的非线性影响。(3)对流的影响: 考虑了多条支流共同交汇的河流环境，阐明了对流对各支流上传播特性的影响。(4)空间和/或时间非均匀性的影响: 对于一般空间非均匀环境、时间周期和时间几乎周期环境中的一维反应扩散方程，我们得到了有界解的拟收敛性结果和解的显式表达式等。这些研究结果汇总在14篇论文中，其中有11篇已经发表。