带自由边界条件的反应扩散方程解的定性性质

Free boundaries often appear in diffusion problems in the fields of physics, ecology, etc., so it is a natural problem in mathematics to study the reaction-diffusion equations with free boundary conditions. A few known results show that, comparing with the Cauchy problems in the whole space and problems with Dirichlet or Neumann boundary conditions in fixed domains, the problems with free boundary conditions may have completely different behavior and richer phenomena. Moreover, using them one can give more reasonable explanation on some problems in applied fields. The purpose of this program is to study the qualitative properties of solutions of reaction-diffusion equations with free boundary conditions. First, we will propose some reasonable free boundary conditions and reaction-diffusion equations according to ecological backgrounds. Then, we study the qualitative properties of the solutions of these models. Especially, for equations with monostable, bistable, combustion types of nonlinearities, we will give a complete analysis on the convergence of bounded solutions, give sufficient conditions ensuring the propagation of the free boundaries and study their asymptotic behavior. Our aim is to present an explanation for the influence of the boundary conditions and spatial-temporal inhomogeneity on the asymptotic behavior of the solutions and the free boundaries.

在物理学、生态学等领域的扩散问题中，经常会有自由边界出现，因此带自由边界条件的反应扩散方程是一个自然的数学问题。目前已知的少数几个研究结果显示，跟全空间中的Cauchy问题、固定区域中带Dirichlet或Neumann边界条件的问题相比，带自由边界条件的问题可以有完全不同的举动和丰富的新现象，对应用领域中一些问题的解释也更加合理。本项目拟研究带自由边界条件的反应扩散方程解的定性性质。首先根据生态学等领域的一些实际背景提出合理的自由边界条件和反应扩散方程，然后研究这些模型中解的定性性质。特别是对于具有单稳定、双稳定、燃烧型等典型非线性项的方程，拟给出有界解收敛情况的详细分析，给出自由边界扩张的判断条件并研究其渐近行为。目的是通过分析手段阐明解和自由边界的渐近行为对于边界条件和非均匀时空环境的依赖性。

带自由边界的反应扩散方程在生态学等领域中具有广泛的应用背景，在数学上也具有丰富的新现象和一些技术困难。近年来这个方向形成了由华人数学家主导的研究热潮，本项目圆满完成了研究计划，所得成果成为这个热潮中的重要部分。.我们根据实际背景提出并研究了以下问题：.1. 系统地研究了均匀一维空间具有自由边界的反应扩散方程. 给出了有界解收敛于平衡解的一般收敛性结果，然后将这一结果应用于具有单稳定、双稳定或燃烧型非线性项的方程，给出了有界解spreading, transition和vanishing的三分性结果，以及关于初值的sharp threshold，也给出了spreading发生时解收敛于“半波”的证明。这些结果跟Du和Lin的文章一起，引领了一个新的研究热潮。.2. 系统研究了均匀一维空间带自由边界的反应-扩散-对流方程. 得到了对流和自由边界共存情形下解的渐近行为的完整刻画，更重要的是我们发现了一个“蝌蚪”状半波，对单个方程而言，这是第一个非单调行波。.3. 研究了具有Robin固定边界条件和/或自由边界条件的反应扩散方程. 给出了有界解渐近行为的完整分析。特别是利用集中紧性原理得到了一个向无限远处移动的ground state解，其运动速度为1/t，这是一个精致的新结果。.4. 其他类型的自由边界问题等等。我们还研究了一维空间两端都带有角度的Stefan边界条件的问题和两个物种强烈竞争造成栖息地分离的问题。.通过这些比较系统的研究，我们阐明了自由边界对反应扩散问题解的定性性质的影响，得到了一批精致的结果，对生态学领域相关问题有一定的指导意义，在JEMS, AIHP, SIAM, JFA, JDE等期刊上发表了十余篇高质量的文章，有些论文已经被引用超过50次。同时培养了一批优秀的研究生。