广义主特征值及其在扩散系统传播现象中的应用

We will introduce the concept of generalized principal eigenvalue into the study of the general operators with comparison principle. We will study the properties of the generalized principal eigenvalues and the applications in the study of the spreading phenomena and spatial-tempororal dynamics of the diffusion systems in unbounded domain. We hope to establish the dynamics framework of the traveling waves and spreading speeds of noncompact diffusion systems. Such a framework can be used to investigate the traveling waves and spreading speeds of unclassical diffusion systems. Moreover, we want to discuss the essential reason of the existence of the spreading speeds for diffusion systems, investigate the relationship of irreducibility of the diffusion and the existence of the spreading speeds.

我们将对一般具有比较原理的系统引入广义主特征值的概念。研究广义主特征值的性质，并利用此概念研究有极值原理的系统在无界域上的传播现象和系统时空动力学。我们计划在广义主特征值存在的条件下，建立非紧系统行波解与传播速度的动力系统研究框架，从而处理非经典扩散系统的传播现象。进一步，我们将探讨空间回复单稳定系传播速度存在的扩散机制，研究扩散不可约性与传播速度存在性之间的关系。

本项目研究非均衡介质中扩散系统的时空动力学和传播现象及相关扩散算子主特征值问题。在以下方面做出系列工作：.1。我们发展了周期介质扩散传播现象动力系统理论。利用该理论，我们（AIHPANL2019，JDE2017）证明时空周期介质中单稳定自由边界问题传播速度存在性。在这一研究中我们还给出了该问题连续初值函数解的适定性和正则性。之前的研究只能考虑C2初值函数。.2.我们（JMPA2019，CCM2019）探索了几乎周期介质中扩散传播问题。在不附加拟周期丢番图假设的情况下，证明空间几乎周期介质中KPP方程自由边界问题行波解存在性，建立环面动力系统与传播现象联系。与此对应的是法国数学家Nadin等（ARMA2017）相关KPP方程Cauchy问题行波解工作中，丢番图假设是必须的。在这一工作中，我们还发展了格点扩散系统的广义主特征值理论和均质化理论。.3.我们（SIAM JMA 2017，JDE2019，JDDE2019）发展了非紧算子的Krein-Rutmann定理，给出了非紧正算子主特征值存在性充分条件。进一步，将这一理论应用于退化反应扩散方程组、时滞方程和传染病数学模型。在理论分析基础上给出了主特征值和传染病基本再生数的简便数值计算方法。