某些方程的非线性波解及其分支

在前期研究工作中，我们主要对低次、低维以及无时滞方程的非线性波解进行研究，获得了一些新的结果，总结出了一些经验。本项目拟研究的内容是前期工作的延续和提升。我们打算继续改进和发展动力系统定性理论和分支方法，并将它与变分法、谱方法以及散射方法等结合起来，应用到某些方程的非线性波解研究中。主要针对实际问题中提出的某些高阶方程、高次方程、高维方程组以及含时滞的方程进行研究，拟研究这些方程的周期波解、概周期波解、爆破解、孤立波解以及扭波解的存在性，稳定性，分支以及在扰动下的持续性、混沌性等性质。对于某些高阶方程、高维的方程组以及分数阶偏微分方程，完全的理论分析可能行不通，因此我们也打算对它们进行数值探索，对其解的稳定性、持续性等性质进行数值模拟，也为实际应用提供一些理论或数值的依据。

本项目的研究成果由四部分组成，共发表30篇被SCI收录的论文。第一部分成果是解决了四类方程的适定性问题。这部分由6篇论文组成，这一组论文主要是在Besov空间中研究广义Camassa-Holm方程、Euler方程、Novikove方程以及Keller-Segel系统等解的存在性、唯一性、连续性以及大时间行为等，给出了一些判定方法以及参数范围。. 第二部分成果是解决了两类随机扰动方程的吸引子和随机行波存在问题。这部分由3篇论文组成，这一组论文研究了随机KPP方程，随机Camassa-Holm方程的吸引子的存在性以及行波解的存在性，给出了存在性条件，并揭示了在单随机扰动和双随机扰动下行波的各种性质。目前这方面的研究工作比较少，我们的工作丰富了该领域的成果。. 第三部分是解决了两类时滞方程的行波解存在问题，这部分由3篇论文组成，该组论文研究了带时滞的Fisher方程以及带时滞的传染病模型的行波解和临界波速等问题，扩展了前人的某些结果，为应用提供了理论依据。. 第四部分是解决了几类方程的非线性波存在性以及分支等问题。这部分由18篇论文组成，该组论文针对几类具有流体力学和电磁学等背景的偏微分方程进行研究，主要考虑了这些方程的周期波解、光滑孤立波解、孤立尖波解、紧孤子解以及扭波解等的存在性、解析表达式，还揭示了这些非线性波解之间的关系，发现了一些新的分支现象。这一组文章还推广了前人的许多成果。