某些非线性波方程的解性态的研究

Nonlinear wave equations are important mathematical models for describing natural phenomena and are one of the forefront topics in the study of mathematical physics, especially in the study of soliton theory.This project will study the behavior of the solutions for Several Nonlinear Wave Equations, including the existence of travelling wavefronts, non-uniform Continuity of the solution map, and orbital stability of solitary waves. First, we will study the travelling wavefronts by using geometric singular perturbation theory. Under the condition of the equations with and without turning points, we will prove the existence and show the complicated and rich dynamics. Second, for Cauchy problems, we will study the non-uniform continuity of the solution map in Sobolev spaces. The method is based on the approximate solutions and well-posedness estimates. Finally, by Evans function, variational method and direct method, we will study the orbital stability of the solitary waves.

非线性波方程是描述自然现象的一类重要数学模型，也是数学物理特别是孤立子理论研究中的重要内容之一。本项目拟研究非线性波方程解的三种性态，包括波前解的存在性、解映射的非一致连续性和孤立子的轨道稳定性：. 1，利用几何奇异摄动理论研究某些方程的波前解，在不带转向点和带转向点的情况下分别证明其存在性，并提示其复杂丰富的动力学行为。. 2，研究某些方程的Cauchy问题，通过构造近似解以及做实际解的适定性估计, 证明其解映射在Sobolev空间中的非一致连续性。. 3，利用Evans函数、变分法和直接方法等理论方法，证明某些方程孤立子的轨道稳定性。

非线性波方程是描述自然现象的一类重要数学模型，也是数学物理特别是孤立子理论研究中的重要内容之一。本项目研究包括行波解的存在性、解映射的非一致连续性、孤立子的轨道稳定性以及奇异摄动的松弛振动等问题。主要的结果如下：.1，利用动力系统理论与分支方法研究了带有布拉格光栅的Kerr非线性光纤模型的驻波解，得到了其所有可能有界驻波解的精确表达式。.2，研究广义Degasperis-Procesi方程的Cauchy问题，通过构造近似解以及做实际解的适定性估计, 及利用其等价的$L^2$守恒律，证明其解映射在$s>3/2$的Sobolev空间$H^s$中是非一致连续性。.3，利用几何奇异摄动理论和Melnikov函数研究耦合一慢扩散的超临界Ginzburg–Landau方程的波前解，证明了在某些参数条件下，将出现鞍点结点型的异宿轨分叉，继而存在波前解。.4，研究带有非一般转向点的奇异摄动广义Lienard系统的松弛振动，利用奇异摄动渐进展开方法，证明在某些特定的参数条件下，存在经典的松弛振动和鸭型松弛振动。.5，利用奇异摄动理论研究了带非单调反应项的predator–prey系统的鸭极限环和全局动力学行为，指出其存在相当不同的极限行为和快慢过程。.6，利用谱方法研究广义Camassa-Holm方程孤立波的轨道稳定性。