多维相容系统的反散射理论

我们所言的"离散可积系统"特指时间、空间均为离散的可积差分方程。近年来离散可积系统取得重要进展，并推动了离散复分析、离散几何、特殊函数等核心数学的发展，成为"目前研究差分方程一般理论最有希望的途径"。"多维相容性"是一类特殊离散系统所具有的性质，它在离散方程本身、Lax对、B?cklund变换三者之间建立起朴素的联系。本项目以多维相容系统的反散射变换理论为主要和重点内容，探讨正散射问题的数学严密性及反散射变换步骤。同时研究该类系统的多步Darboux变换、Cauchy矩阵方法等更多途径，发展离散可积系统的精确求解方法。另外还将关注多维相容系统的构造以及多维相容性在可积性研究中发挥的作用。本项目不仅是对目前并不丰富的离散可积系统的求解途径及理论的发展，更重要的在于反散射变换的理论意义与影响，将对进一步认识离散可积系统，发展离散可积系统相关理论具有重要意义。

离散可积系统特指时间、空间均为离散的可积差分方程。近年来离散可积系统取得重要进展，并推动了离散复分析、离散几何、特殊函数等核心数学的发展。多维相容性作为一种对离散可积新的理解，为离散可积系统的研究提供了研究手段。.本项目以多维相容系统的反散射变换理论、Darboux变换、Cauchy矩阵方法、离散的可积特征等为重点研究内容，发展了离散可积系统的精确求解方法，探讨了多维相容性在可积性研究中的作用。具体研究成果包括：1) 系统研究了非自治多维相容系统的反散射变换，建立了基本理论框架。2) 系统建立了一类离散可积系统的多步Darboux变换，获得了Casorati行列式解。3) 建立了代数多项式与离散色散关系的联系，并应用于多维相容系统的构造。4) 实现了Cauchy矩阵方法的一般化，获得了更加丰富的解；进一步探讨了Sylvester矩阵方程与离散和连续可积系统的联系。5) 给出了从Lax对出发，利用多维相容性构造无穷守恒律的方法。6) 构造了一类具有3孤子解的离散的双线性方程。7) 对经典的半离散AKNS和KP方程族进行了系统研究，建立了它们的严格的连续极限格式。8) 对离散可积系统有理解的构造和研究。9) 对多维相容系统的非自治化后的解的结构的研究。这些研究使我们对离散可积系统在理论上有了更加深刻的认识。所获成果大多具有原创性，或实现了离散可积系统理论中若干经典方法的进一步完善与发展。项目执行期间，共有5名硕士研究生、4名博士研究生毕业；共发表SCI收录论文27篇。我们比较满意地完成了该项目。