具有特殊势的非线性薛定谔型方程

The nonlinear Schrödinger (NLS) equations are main models in many fields such as nonlinear optics and so forth. This project will focus on the applications of integrable theory to the NLS-type equations with special potentials. We would mainly work on the following 4 topics: 1) The Gross-Pitaevskii (GP) equation and its integrable aspects. The GP equation with a parabolic potential and some gain term can be integrable. This fact enables us to investigate integrable boundary problems, exact solutions, etc, of the integrable GP equation. 2) Classification of the NLS-type equations on the basis of bilinear form and 1-soliton condition. The bilinear NLS-type equations in terms of Hirota’s derivative with constant coefficients admit always 1-soliton solution. We would investigate 1-soliton condition for bilinear NLS-type equations with a variety of potentials. As an expected result, we would be able to identity and classify those NLS-type equations having a 1-soliton solution. 3) Numerical approach to (2+1)-dimensional NLS equation with ellipse as a potential. 4) Applications of group theory and geometry to the research of some NLS-type equations. In particular, we would make use of group theory and its reduction structure to sort out canonical forms of integrable two-component NLS-type equations and look for geometric interpretation for some NLS-type equations with potentials. In this project, we hope to take the full advantage of the concepts and techniques of integrability to study the NLS-type equations with special potentials. This helps us develop related mathematical methods and expect desired progress in experiment.

非线性薛定谔型方程是非线性光学等诸多领域中的主导模型。本项目将研究可积系统理论在具有某些特殊势的非线性薛定谔型方程中的应用，并主要关注以下4个方面。1）Gross-Pitaevskii（GP）方程的可积性研究。含增益项时具有抛物势的GP方程存在可积性；基于此研究该类方程的可积边界问题和精确解等。2）基于双线性方法对具有单孤子解的非线性薛定谔型方程分类。基于双线性导数的常系数非线性薛定谔型方程都有单孤子解；研究引入不同势函数时方程存在单孤子解的条件，并实现对该类方程的分类。3）具有椭圆势的(2+1)-维非线性薛定谔型方程的数值计算。4）群与几何在非线性薛定谔型方程中的应用。借助于群结构的约化理论梳理二元非线性薛定谔型方程的规范形式，探讨某些具有特殊势的非线性薛定谔型方程的几何描述。藉此将可积理论充分应用于可积和非可积的具有某些特殊势的非线性薛定谔型方程，发展相关数学方法，推动实验进展。

可积系统具有一系列优美数学结构，这些结构保证了其精确可解性以及解的规则结构。非线性Schrödinger(NLS)型方程在众多物理现象中普遍存在。本项目旨在利用可积理论，发展NLS型方程的可积系统方法，以期推动理论认识和实验进展。具体研究成果包括：1)给出了带有抛物势的Gross-Pitaevskii方程的可积形式与粒子数守恒形式和非局部形式，实现了这些方程解的构造与分类，发现了孤立波与震荡波叠加的新特征。2)研究了半直线上带边界NLS型方程解的构造，提供了求解范例。3)研究了可积非等谱NLS型方程，从理论上分析了非等谱效应与局域波之间的关系，实现了一类具有时空局域化孤子的非等谱NLS方程的可积离散。4)系统研究了导数NLS型方程，获得了Fokas-Lenells方程的解，给出了导数NLS型方程代数孤子解的构造方法。5)发展了双线性约化方法，使之适用于具有互反变换和时空平移的非局部可积系统以及具有非零背景的NLS方程等。6)揭示了与线性Schrödinger方程相联系的水波方程与含自相容源KP方程族的联系。7)发展了自对偶Yang-Mills方程的Cauchy矩阵方法，建立了该方程与KP系统和AKNS系统的Cauchy矩阵格式的联系。8)揭示了与半离散修正KP方程族相关的可积系统之间的内在联系。9)发展了多维相容理论，提出离散可积边界条件零曲率表示的系统方法，实现了可积边界分类。10)发展了椭圆函数在可积系统中的应用，建立了与Lamé函数相关的双线性框架与直接线性化格式，建立了高维离散可积系统代数几何解的构造方法。这些研究使我们对NLS型方程的可积结构和物理背景有了更加深刻的认识。所获成果都具有原创性，或建立了新的框架，或发展了新的方法，或揭示了新的联系。项目执行期间，共有6位硕士研究生、7位博士研究生毕业；共发表/录用SCI收录论文43篇。我们满意地完成了该项目。