拓扑方法及其在几类非线性微分方程中的应用

This project mainly includes the following three aspects:.(1)We are to study the existence of positive solutions, multiple solutions and sign-changing solutions of boundary value problems for nonlinear differential equations by topological degree theory, where nonlinear terms are unbounded from below. (2)We are to study fixed points, sign-changing fixed points and its number of nonlinear operator equations that do not map cones into cones in Banach space based on the fixed index theory and topological degree theory. (3)We are to study the sign-changing solutions and multiple solutions for quasilinear Kirchhoff partial differential equations in the whole space by topoplogical method and critical point theory. This research will develop and perfect theories of nonlinear functional analysis, widen the applications of topological method. Therefore, the research has important theoretical significance and application values.

本项目主要研究三个方面的内容：.（1）利用拓扑度理论，研究非线性项下方无界的微分方程边值问题，建立其正解、多解和变号解的存在性。（2）利用不动点指数理论和拓扑度理论，研究半序Banach空间中非映锥到锥的非线性算子方程不动点、变号不动点及个数。（3）利用拓扑方法和临界点理论，研究拟线性Kirchhoff型偏微分方程在全空间上的变号解和多解性。这些问题的解决可以发展和完善非线性泛函分析的理论，扩大拓扑方法的应用范围。本课题不仅具有重要的理论意义而且具有重要的应用价值。

非线性泛函分析对处理非线性分析领域中的各类问题起着核心作用，它以数学与自然科学中出现非线性方程为主要研究对象，建立了一整套系统而深刻的处理非线性问题的一般性数学理论和方法，其研究成果可以被广泛地应用于其他科学领域。本项目利用非线性泛函分析中的拓扑方法研究了几类非线性微分方程边值问题。首先，利用拓扑度理论，研究了一类具有Riemann-Stieltjes积分边界条件的Sturm-Liouville问题，在非线性项变号甚至下方无界的条件下，建立其解的存在性。其次，研究了一类无穷区间上一维P拉普拉斯共振多点边值问题，利用Brouwer度理论，借助Leray-Schauder度等拓扑方法建立了其解的存在性。另外，在非线性项变号的条件下，建立了一类分数阶微分系统非平凡解的存在性定理，同时建立了其唯一解的存在性结果。