最优运输中几类非线性偏微分方程和变分问题的研究

本课题拟深入研究最优运输中几类非线性偏微分方程和变分问题，运用偏微分方程、最优化理论、测度论和几何分析的思想和方法，对几类一般的费用(cost)函数和运输空间，建立相应的最优运输问题最优映射的存在性，给出经典的Monge问题解的唯一性条件，研究费用函数的势函数所满足的Monge-Ampère方程的解的性质，建立最优映射及其势函数的Sobolev正则性和几何刻画等。最优运输问题起源于古老的Monge问题，它不光与偏微分方程、变分学、微分几何、概率论、流体力学、动力系统和无穷维线性规划等紧密相关，而且在计量经济学、自动控制、统计物理、图像处理、城市规划、宇宙学和气象学等领域中有重要应用，已越来越引起人们的广泛关注和重视。开展本课题的研究，可进一步揭示最优运输问题中费用函数、运输区域和空间、最优映射之间的内在关系，丰富偏微分方程、变分学和几何分析的理论和应用。

研究了距离费用函数具有凸约束的最优运输问题，证明了2维情形具有严格凸约束的Monge问题的最优传输映射的存在性和唯一性，给出了存在性和唯一性的充分条件，之后得到了具有可数了平坦部分的凸约束的问题的存在性；证明了n维情形这类Monge-Kantorovich问题的最优传输映射的存在性；并通过构造具体的例子说明一般的凸约束运输问题的解没有唯一性。讨论了半球面上的质量传输问题，得到了Monge问题解的存在性和唯一性的充分条件。分别研究了最优传输问题所对应的Monge-Ampere型方程、Hessian方程的Dirichlet问题、斜微商问题,给出了解的直到二阶导数的先验估计，达到了经典解的存在性和唯一性。研究了Heisenberg群的H-调和函数和H-p-调和函数（即水平p-调和函数）。利用H-调和函数的频率函数，应用几何测度论和复分析理论，建立了H-调和函数的零点集的测度估计；定义了Heisenberg群上函数的水平奇异集和j水平奇异集，得到了Heisenberg群上的j阶水平齐次多项式的j水平奇异集的几何结构，从而建立H-调和函数的水平奇异集的几何结构。研究Heisenberg群上次p-Laplace方程和抛物型次p-Laplace方程和粘性解的渐近平均值公式，证明了粘性解和渐近平均值公式的等价性，建立了H-调和函数的增长性和次椭圆方程解的唯一延拓性。