分片连续系统的Conley指标理论及其在传播动力学稳定性问题中的应用

The Conley index is a powerful tool in the study of dynamical systems, especially, there are a wide range of applications in the studies of bifurcation and stability problems for smooth and continuous dynamical systems. However, for non-smooth and discontinuous dynamical systems, such as piecewise continuous systems,the theory and applications for the Conley index still need to be further explored. This project will study the theory of the Conley index for piecewise continuous systems and its applications to some non-smooth and discontinuous dynamical systems such as stability analysis in propagation dynamics. We will focus on the properties of existence, stability, weak continuity,etc. expressed in the Conley index for piecewise continuous systems, as well as the calculation of the index. In particular, characterize the dynamical complexity, global convergence and divergence, bifurcation, etc., for piecewise isometric systems; discuss the existence of global attractors, bifurcation for the parameter of rotation angles for piecewise isometric systems, the estimation of dynamical complexity, etc., find conditions for the existence of bifurcation points given by the Conley index. In addition, we will also use the Conley index to study the existence of global attractors, bifurcations and dynamical complexity for piecewise continuous systems, via computer assisted rigorous proof. The project will expand the boundaries of the Conley index theory, at the same time, further enrich and improve the research methods and foundamental theory of discontinuous dynamical systems, and provide new ideas and tools to resolve the problems in singular dynamical systems.

Conley指标是动力系统研究的一个有力工具，特别在光滑与连续动力系统的分叉与稳定性问题中有广泛的应用。但对于非光滑与不连续动力系统，如分片连续系统，Conley指标的理论与应用尚需开拓。本项目将研究分片连续系统Conley指标的理论及其在一些非光滑与不连续传播动力系统稳定性问题中的应用。重点研究存在性、稳定性、弱连续性等方面的性质在分片连续系统Conley指标下的表述，以及指标的计算。特别是刻画分片等距系统的动力学复杂性、全局敛散性、分叉性等；讨论全局吸引子存在性、分片等距系统对旋转角参数的分叉性、动力学复杂度的估计等，给出通过Conley指标表述的分叉点存在性条件。另外，我们还将运用Conley指标对分片连续系统的全局吸引子存在性、分叉和动力学复杂性等问题进行计算机严格辅助证明研究。本项目的研究将扩展Conley指标理论的疆域，同时为处理奇异动力系统问题提供新的思路和工具。

Conley指标是动力系统研究的一个有力工具，特别在光滑与连续动力系统的分叉与稳定性问题中有广泛的应用。本项目研究了分片连续系统Conley指标的理论及其在一些不连续传播动力系统稳定性问题中的应用。重点研究存在性、稳定性、弱连续性等方面的性质在分片连续系统Conley指标下的表述，给出了通过Conley指标表述的分叉点存在性条件。本项目的研究将扩展Conley指标理论的疆域，同时为处理奇异动力系统问题提供新的思路和工具。通过四年的研究攻关，我们取得了满意的结果。分别对两个基于网络的流行病传播和信息扩散的耦合模型，即相互作用模型和流行病控制模型，进行了定性分析，得到了无病平衡点、地方病平衡点和同步流形的存在性及其全局渐近稳定性。给出了一个复杂的描述具有多菌株流感的时空传播反应扩散系统的行波解的存在性。并通过引入辅助系统，利用Schauder不动点定理，进行了极限系统的论证，并建立了从无病平衡点出发的半行波的存在性。通过构造合适的Lyapunov泛函，应用动力系统的持续性理论，得到了其它两类行波，即强行波和弱（持续）行波存在的条件。我们进一步讨论了从无病平衡点出发的半行波不存在的几种情况，并给出了流感传播的最小波速的估计。分析了一类受Allee效应和感染共同影响的生态流行病模型，在第一卦限中建立了系统的解的存在性、唯一性、正定性和一致最终有界性。对于某些子系统，我们使用和发展Conley指标与受限Conley指标理论来确定分支点（Hopf分支点和异宿轨分支点）和异宿轨（环）的存在性，并证明了异宿轨的鲁棒性。我们证明强Allee效应可以产生一个分界曲线（或曲面），从而导致多稳态。我们发现异宿环形成了一个异宿网，并应用Poincare映射和分支理论确定了一个内部周期轨。