复杂网络上传播过程的若干奇异动力学问题

网络传播行为的研究可包括对疾病、病毒、谣言、舆论、观点等主体在网络上的扩散现象的探讨, 但其传播过程与机理可用传染病学模型来描述。本项目就是从传染病学的角度来研究复杂网络上传播过程的动力学及其控制问题。重点研究具有奇异性（包括非光滑性、间断性、无界性）的复杂网络上的传播动力学性质。讨论网络拓扑结构的时变奇异性以及其中的某些几何量对于传播行为的影响；探讨在网络节点局部动力系统具有非光滑性或不连续性的情况下网络同步能力与其上的传播动力学的相互关系，并深入研究如何通过控制少量结点改变网络同步能力，进而改变网络的传播动力学性质；深入研究节点间连接或接触的具有间歇性及度关联性的网络上的传播与控制问题；从理论上定性刻画网络层次结构对传播阈值的影响；讨论有向赋权网络在耦合方式的转换与切换奇异性下如何进行连接相关性度量的问题，进而深入研究有向赋权奇异网络上的传播模型。

经典的传染病仓室模型是建立在同质混合假设基础上的。为了进一步研究种群内非齐次连接拓扑结构与各种奇异性对病毒传播行为的影响，本项目深入研究了复杂网络上传播过程的奇异动力学问题及其控制问题，各项研究计划均得到很好的执行，取得了满意的结果。在本项目执行三年时间里，我们重点研究了复杂网络上传播过程的数学建模、阈值分析、免疫策略分析、动力学奇异性与稳定性分析、数值模拟等问题。我们首次依据实际传播网络的自适应性建立起不同类型的传播同步模型，获得了精确的阈值公式，得出了传播同步的局部稳定性和全局稳定性条件。我们还首次提出了“自适应权重”，发现权重能够使疾病更容易爆发，而且网络越异质，权重的影响就越明显。我们引入了个体意识、局部意识和全局意识，建立了意识和疾病相互作用的数学模型，进一步讨论了警觉意识对疾病动力学的影响。讨论了非齐次网络上带传播媒介的SIS疾病传播模型、免疫策略、及其地方病和无病平衡点的全局稳定性。首次尝试同时刻画疾病及关于疾病流行的信息同时在网络上的传播以及它们之间相互影响、共同演化的问题。我们将结点之间的传染力表示为结点度的分片光滑（分片线性）函数，在这种非光滑传染力条件下，我们导出了流行病阈值为正的条件。此外还研究了网络同步和控制等相关问题，得到了一系列结果。本项目的研究成果，不仅可为复杂网络研究方向及其相关交叉学科方向提供新的研究方法和理论支持，更为重要的是为实际应用问题提供理论保障和数值指导。