两类反应扩散系统的反问题研究

Reaction-diffusion equation is the basic model in describing material’s transport and diffusion with space and time. The solute transport in porous medium with flow, the dynamical diffusion of multispecies in space-ecology, and other problems in ecological environment, can be described by the system of reaction-diffusion equations. It is of important scientific innovation to establish suitable system-models and to do research on identification problems and related inversion algorithms especially for the diffusion behaviors in complicated cases.. This project is to do the following researches:. (1) The non-equilibrium system of solutes transport in porous medium, which involves integral-fractional advection-diffusion equations. This belongs to interdiscipline problems of mathematics with hydrology and environmental sciences.. (2) The reaction diffusion system of space-ecology, which involves nonlinear and nonlocal reaction diffusion equaitons. This belongs to interdiscipline problems of mathematics with ecology and biology.. It is our main task to do comparative study for the classical diffusion and the fractional diffusion based on the forward problem, and to set forth reasonable inverse problems, and to do research on conditional well-posedness analysis and inversion algorithms for multi-parameters identification. It is helpful for revealing diffusion mechanism of materials in complicated environment to study the forward and inverse problems, and it can provide some theoretical instructions for scientific decision when dealing with practical problems in ecological environment.

反应扩散方程是描述物质在时空迁移扩散的基本模型。多孔介质中的溶质传输扩散，空间生态学中的多种群动力扩散等生态环境问题，均可用反应扩散方程组描述。尤其对于复杂环境中的扩散行为，含有更多难以直接获取的信息，因而建立符合实际的数学模型、开展系统辨识与反演算法研究具有重要科学创新意义。. 本项目主要研究:（1）多孔介质中溶质运移的非平衡态传输扩散系统，涉及到整数阶-分数阶扩散方程组，是水文地质学、环境科学与数学的交叉问题。（2）空间生态学中的扩散系统，涉及非线性、非局部反应扩散方程组，是生态学与数学的交叉问题。对于上述扩散系统，不仅基于正问题开展整数阶与分数阶扩散行为的比较研究，而且着重于探讨提出合理的反问题，并开展适定性理论分析与参数联合反演算法研究。对这些扩散系统正/反演问题的研究有助于相应数学模型的建立与应用，可为生态环境实际问题的研究解决提供理论指导和决策依据。

1.项目背景.非线性非局部反应扩散系统及其应用是现代科学与数学及其交叉研究领域中的热点问题，尤其对于复杂介质中非平衡态传输过程、生态系统中反常扩散与斑图生成等问题研究具有重要科学创新意义和应用价值。.2.主要研究内容.（1）研究了溶质运移的非平衡态分数阶传输系统模型的解析解与数值模拟，探讨了模型关键参数(微分阶数)变化对长时间扩散过程的影响以及分数阶扩散的特点，研究了微分阶数/衰减系数反演的唯一性以及时空依赖源项的数值反演。（2）研究了空间生态学中非线性非局部扩散系统模拟与生物斑图生成问题，探讨了不同形状斑图生成参数的数值反演。（3）研究了利用有限数据确定微分阶数等关键参数反演的唯一性及其数值反演，发展了利用单个空间点数据确定微分阶数的数值代数方法。（4）研究了分数阶扩散系统模型中确定多个参数的变分伴随、变分迭代-同伦摄动、贝叶斯等非梯度型反演算法。.3. 重要结果及其科学意义.（1）提出了非平衡态溶质运移整数阶-分数阶/分数阶两区模型，从解析解、数值解与参数识别反问题等三方面进行了系统研究，验证了分数阶扩散的非对称规律并得到了关键参数反演的唯一性。（2）对于非线性非局部反应扩散系统，通过数值模拟揭示了条状斑图生成与微分阶数的关系，并应用优化控制方法证明了生成参数最优解的存在性。（3）应用Mittag-Leffler函数性质与数值代数方法，证明了时间分数阶扩散中利用单个空间点测量数据确定微分阶数的唯一性，部分解决了关于微分阶数反演的一个开问题。（4）对于分数阶复杂系统的多参数反演，发展了变分伴随、变分迭代与贝叶斯方法等非梯度型反演算法，并在数据随机扰动条件下实现了有效的数值反演。（5）对于具有非线性边值条件的时间分数阶扩散方程，证明了当非线性边值未知时可利用一个边界点的观测数据确定微分阶数的唯一性;当边值条件已知时，则可以建立反演的Lipschitz稳定性。（6）对于时间分布阶反常扩散模型，基于特征函数展开证明了解的适定性，并应用Laplace变换方法证明了分布阶权函数反演的唯一性。（7）对于变分正则化的正则参数后验选取问题，提出一种不依赖噪声水平的启发式方法，为一般系数反问题求解提供了解决方案。