高维分数阶扩散中的若干反问题

The fractional differential equation (FDE in short) has played important roles in modeling of the anomalous phenomena in the field of environmental science and hydrogeology. Noting that multi-dimensional properties of the real problems and more parameters that can not be measured directly in the FDE, we have to deal with the inverse problems in the multi-dimensional FDE models. We consider with the inverse problems in two kinds of FDEs in multi-dimensional cases, one is the multi-term time FDE with multiple Caputo derivatives, and the other is the time Caputo-space Riesz FDE. The primary researches are listed below: (1) Analytical solution and numerical solution of the forward problem, especially for concrete computations of the analytical solution and the finite difference solution, also the well-posedness of the solution is considered. (2) Inverse problems of determining the source/sink terms in the FDE, including continuous source and point source. (3) Inverse problems of determining the space-dependent diffusion coefficient in the multi-term time FDE with multiple Caputo derivatives, and the fractional-order-dependent diffusion coefficient in the time Caputo-space Riesz FDE. (4) Inverse problems of identifying the fractional orders in the FDEs using the continuous measurements at some interior points. (5) Inverse problems of simultaneously determining the fractional order and the diffusion coefficient, and the diffusion coefficient with the source term, especially on inversion algorithms for the simultaneous inverse problems. (6) Applications of the FDE models in the research of regional environmental pollution, such as anomalous solute transport in the soil and groundwater. The main characteristic of this project is to systemically research multi-dimensional fractional diffusion behaviors by applying the inverse problem method, and the research can provide new idea and scientific support for revealing the real anomalous diffusion phenomena.

分数阶微分方程及应用研究已成为现代各门科学与数学相互驱动发展的主要方面，尤其在环境科学与水文地质学等领域，鉴于非牛顿流、非费克扩散的广泛关注，分数阶扩散研究显得愈发重要。注意到实际问题的多维性以及分数阶模型中含有更多难以直接测量的参数，就导致了对于高维分数阶扩散相关反问题的研究。 本项目主要考虑两类分数阶扩散中的反问题，一是含多个Caputo时间分数阶导数的扩散，二是时间Caputo-空间Riesz型的分数阶扩散。主要研究内容：(１)两类分数阶扩散方程的求解方法及解的适定性；(２)源项反问题，包括连续源和分布点源；(３)扩散系数的反问题；(４)微分阶数的反问题；(５)微分阶数与扩散系数、扩散系数与源项的联合反演问题。(６)分数阶扩散模型在区域环境污染问题中的应用。本申请项目的主要特色是应用反问题方法系统研究高维分数阶扩散行为，以期为研究解决实际的反常扩散问题提供新的思路和方法。

1.项目背景.分数阶微分方程及其应用是现代科学与数学研究领域中的热点问题，尤其在水文地质学、环境科学等领域，分数阶扩散研究受到广泛关注。对于高维分数阶扩散反问题研究具有重要科学创新意义和应用价值。.2.主要研究内容.（1）研究了含多个Caputo时间分数阶导数扩散模型的差分解，进而研究了确定多个微分阶数或扩散系数，或源项系数反问题的惟一性、数值反演，以及扩散系数与源项的联合反演。（2）对于时间Caputo-空间Riesz型分数阶扩散模型，研究了关于微分阶数或源项系数的反问题，以及微分阶数与初始分布的联合反演；在二维变系数扩散情形，研究了确定空间依赖扩散系数的数值反演；(3)探讨了分数阶微积分的分部积分方法，并应用于分数阶扩散反问题的条件稳定性分析。（4）研究了高维扩散方程源项反问题条件稳定性的变分伴随方法及参数直接反演算法。.3. 重要结果及其科学意义.项目研究发表学术论文16篇、录用1篇，其中SCI索引11篇。2016年发表在《Numerical Math: TMA》的论文，基于对系数矩阵谱半径的估计证明了含多个Caputo时间分数阶导数扩散模型差分解的稳定性与收敛性。2016年、2017年发表在反问题期刊《IPSE》的两篇论文，分别研究了空间分数阶对流扩散方程与含多个时间分数阶扩散方程的扩散系数与源项的联合反演，证明了解算子的连续性，并在扰动数据条件下实现了数值反演。针对时间-空间分数阶变系数对流扩散与二维空间分数阶变系数对流弥散模型，应用同伦正则化算法实现了扩散系数的数值反演，研究结果2017年分别发表（录用）在《J. Comput. Theoretical Transport》与《IPSE》。对于含多个Caputo时间分数阶导数扩散方程的逆时问题，2017年发表在《Adv. Appl. Math. Mech.》，该项研究应用弱下半连续泛函的性质证明了反问题数值解对应的极小问题解的存在性，奠定了反问题数值求解的一个理论基础。2017年发表在反问题期刊《JIIP》的论文，应用变分伴随方法证明了扩散方程源项反演的Lipschitz条件稳定性，所用方法是研究PDE系数反问题条件稳定性的新探索，而且可为反演算法提供理论基础。