数学物理中的两类反应扩散模型

We plan to study two kinds of dynamic models, one is the degenerate parabolic-elliptic equations related to the chemotaxis phenomenon. We mainly study the global existence and finite time blow-up of the solutions. On the one hand, we plan to find the initial critical value to separate the global existence and finite time blow-up; On the other hand, we would like to study the asymptotic behavior near blow-up point.. The other is the Fisher KPP model from population dynamics, we would like to analyze the exponents which result in the global existence and finite time blow-up.

本项目拟研究生物数学中的两类动力学模型，一类是生物趋药模型(Keller-Segel模型)，主要研究一类退化的抛物椭圆耦合方程解的全局存在与有限时刻爆破，拟找到解的全局存在与有限时刻爆破的初始临界值，另一方面，拟分析方程解在爆破点附近的渐近行为。本项目的另一内容是研究种群动力学的Fisher KPP模型，对于不同类型的Fisher KPP模型，希望找到解的全局存在与有限时刻爆破时参数所满足的条件。

趋药性指的是细胞随着周围环境中化学物质浓度改变自己运动方向的一种机制。自然界中很多生物都具有趋药性，比如变形虫形成多细胞生物的过程、肿瘤的形成、细菌在土壤中靠着鞭毛移动等，这类模型有着共同的数学结构特征：自由扩散和趋药性聚集的竞争机制，因此解的全局存在与有限时间爆破成为方程研究的基本问题。另一方面，种群动力学主要研究种群演变情况，种群自身繁殖以及种群与周围资源消耗之间的关系。非局部非线性项反应了种群消耗周围资源的状态，同时也关键性地决定了种群动力学方程解的性态。. 本项目主要研究生物数学中的两类动力学模型，一类是生物趋药性模型，本项目将生物消耗周围资源和自我繁殖增长过程考虑进去，研究带非局部非线性logistic增长、非线性交叉扩散方程动态解和稳态解的性质，证明了解的全局存在性，对方程解的长时间渐近行为进行了估计，并对解的有限时刻爆破做了分析。另一类是描述种群动力学中的Fisher-KPP模型,研究种群动力学中非局部非线性项对解的行为的影响，得到了和经典Fujita方程完全相反的结果，从而验证了非局部非线性指标对解的全局存在和有限时间爆破的临界作用，这部分结果不仅在数学上完备化这类模型的理论，还对数值模拟起到指导作用。. 项目执行期间，项目组成员已在国际著名期刊上发表SCI论文5篇。在此基础上，项目负责人成功申请到德国洪堡基金资助，作为洪堡学者赴德访问，在德期间培养1名硕士生。