旋量场与流形的几何分析

关于Spin流形上非线性狄拉克方程的研究，现有的文献很少涉及。多数情形下，特别是三维齐性空间中曲面的Spinor表示，方程不具有变分结构， 难以处理。本项目计划研究Spin流形上非线性狄拉克方程解的一般存在性、唯一性等问题。另一方面，由于高维空间中曲面的Spinor表示不再成立、非线性狄拉克方程的研究结果不多，使得旋量场方法在子流形几何中还没有得到充分的应用，这是我们计划研究的一个部分。此外，狄拉克-调和映照等模型的一般存在性问题，由于欧拉-拉格朗日方程组的耦合特征以及对应泛函的强不定性质，使得已有方法不再有效，从而问题变得很困难，是令人关注、有待解决的问题，我们将对此及一些相关模型进行研究。我们还计划用新的方法构造狄拉克-调和映照。 通过本项目的研究，将使我们从理论结果和研究方法上对于Spin流形上的非线性狄拉克方程、含狄拉克方程的耦合组，以及子流形几何有更进一步的理解。

按照项目计划，我们主要研究了Spin流形上狄拉克方程解的一般存在性、唯一性问题、狄拉克-调和映照的一般存在性、唯一性、梯度估计与Liouville性质、狄拉克-调和映照的热流等问题，以及与此相类似的V-调和映照的相关问题，并进一步给出这些结果在子流形几何中的应用。. 我们与合作者首先得到齐次狄拉克方程的零边值问题解的平凡性，结合经典的L^p估计，得到关于非齐次狄拉克方程边值问题解的整体L^p估计，在此基础上，我们进一步得到狄拉克方程在Chirality，MIT-Bag等类型的边值条件下解的存在性、唯一性定理。对于沿着映射的狄拉克算子，我们得到相应的边值条件下解的存在唯一性定理。对于一般流形上的狄拉克丛及作用在其上的狄拉克算子，我们证明了非常有用的Kato-Yau不等式。. 关于狄拉克-测地线，我们分别证明: 对于具有正高斯曲率，且满足1/4-Pinching等条件的拓扑球面, 以及具有负欧拉示性数、高斯曲率满足一个下界条件时的双曲面，闭狄拉克-测地线的多解存在性定理。我们引入了带初边值条件的狄拉克-测地线的热流方程, 证明了其整体解的存在性定理。 对于曲面情形的狄拉克-调和映照，我们给出了在一定的拓扑条件下， 曲面情形之间的非耦合狄拉克-调和映照的解空间维数估计，以及曲面狄拉克-调和映照的结构定理。在一般完备出发流形情形，对于从完备流形M映到目标流形N的测地凸球中的狄拉克-调和映照，我们建立了其梯度估计，并由此得出刘维尔型定理。我们引入了狄拉克-调和映照的热流，并得到了狄拉克-调和映照热流的局部存在唯一性定理。. 我们引入了V-调和映照概念，对于V-调和映照的热流，在映照像落在测地凸球的情形，我们证明了最大值原理，然后运用连续性方法，得到整体解的存在性结果，由此结合最大值原理得到解的收敛性，从而得到边值问题解的存在性。对于完备非紧流形，我们也证明了V-调和映照的存在性定理。运用V-调和映照的刘维尔型定理，我们得到了伪欧氏空间中自收缩解的的刚性定理。 我们还建立了完备黎曼流形上V-Laplacian算子比较定理，由此导出新的广义极值原理，并运用它得到关于平均曲率流自收缩解的和平移孤子解的刚性定理。.