流形上的几何与分析

流形上的几何与分析是上世纪后期发展起来的重要数学分支，问题极富前沿性、挑战性和创新性。吸引了一批优秀数学家对该领域的探索和钻研。本项目组成员之间长期合作，在平均曲率流的奇点分析、复Monge-Ampere方程、预定曲率问题、广义Yamabe问题、Willmore泛函紧性等的研究中取得了一系列重要研究成果。 他们计划在未来的五年时间里, 合作研究平均曲率流、Ricci流、重整化群流等几何发展方程及其在几何中的应用；利用完全非线性偏微分方程的方法研究复Monge-Ampere方程、Sasakian-Einstein度量、极值度量等复几何中的问题及凸几何中的问题；研究预定曲率问题及广义Yamabe问题；研究带分支点的曲面与它的Willmore泛函。在这些问题的研究中，主要解决相关椭圆及抛物方程解的正则性，奇点分析，以及解空间的紧性。这是几何分析及非线性分析研究中重要且困难的课题。

流形上的几何与分析是上世纪后期发展起来的重要数学分支，所研究的问题极富前沿性、挑战性和创新性。本项目组成员通过分工和合作在几何发展方程及其几何应用方面；完全非线性偏微分方程及其在复几何中及凸几何中的应用方面；预定曲率问题及广义Yamabe 问题；带分支点的曲面与Willmore 泛函方面取得了一系列重要成果。 寻找全纯曲线是微分几何、复几何研究中的一个重要问题。我们利用辛平均曲率流来寻找全纯曲线，我们证明在一定的pinching条件下，CP^2中的辛平均曲率流长时间存在且收敛到全纯曲线。我们在辛曲面上引入一类依赖于一参数的泛函，研究这类泛函的临界曲面及相关紧性定理，并将其用来寻找全纯曲线。 我们利用Yang-Mills-Higgs流证明半稳定的Higgs丛上必存在渐近Hermitian-Einstein度量，从而对Kobayashi的一个猜测作了肯定回答，作为应用得到半稳定Higgs丛上的Chern数不等式。我们研究Fano流形上的带锥角的Kaehler-Ricci流，通过带光滑扰动项逼近的方法证明该流的长时间解存在性，得到相关的正则性估计；建立沿带锥角Kaehler-Ricci流的Perelman型估计,进而得到该热流的收敛性结果。在完全非线性偏微分方程方面，我们得到得到抛物方程解的时空水平集的第二基本形式的一个常秩定理，在一定条件下证明热方程解的水平集是时空联合严格凸的。我们还得到了平均曲率方程的梯度估计，得到Hessian方程Neumann问题的存在性定理，从而给出Trudinger猜想的一个肯定回答。我们得到复Monge-Ampere方程的内部C^(2,\alpha)估计；研究一类非经典型的退化复Monge-Ampere方程的Dirichlet问题，作为应用得到关于具常纯量曲率Sasakian度量的唯一性定理。我们研究了黎曼流形中预定Weingarten曲率的闭超曲面的存在性问题，建立先验估计证明解的存在性。我们提出了W^{2,2}共形浸入和带分支点的W^{2,2}共形浸入的概念，推广了Helein收敛定理，并解决了Helein关于该收敛的一个猜想。我们给出了在一般的凯勒类中K-能量是proper的条件，完全解决了Song-Weinkove提出的一个问题，并且给出了极值凯勒度量所对应的K能量泛函为proper的一个充分条件。