保正有限体积非线性加权紧致格式的研究及应用

In this project, a maximum-principle-satisfying and positivity-preserving fifth-order finite volume compact-WENO scheme is studied for solving conservation laws. We will extend the main idea of WENO schemes to some classical compact finite volume schemes, where lower order compact stencils are combined with WENO nonlinear weights to get a higher order finite volume nonlinear weighted compact scheme. The newly developed positivity-preserving limiter is used to preserve positive density and internal energy for compressible Euler equations of fluid dynamics. For scalar conservation equations, the maximum-principle-satisfying limiter is adopted to construct the present high order finite volume schemes in each stage for a Runge-Kutta method without destroying accuracy and conservativity. The present scheme increases the accuracy and spectral properties of the classical WENO schemes for a given order of convergence. Compared to classical small length scale fifth order finite volume compact schemes, the present scheme keeps the essentially non-oscillatory properties for capturing discontinuities. The present nonlinear weighted compacted scheme can be modified to apply to non-uniform grids or unstructured meshes . At last, the proposed high-order scheme is used for solving compressible Euler equations and the shallow water equations,especially for dry areas where no water is present.

本项目拟提出一种满足最大模原理和保正的五阶有限体积非线性加权紧致本质无震荡数值格式求解守恒律方程组。我们将经典的加权本质无震荡格式的思想扩展到迎风紧致有限体积格式中，即对低阶紧致模板利用非线性权做非线性组合得到更高阶有限体积紧致加权本质无震荡格式。通过采用最近提出的保正限制器的思想保证流体动力学的可压缩Euler方程组的密度和内能的非负性。对于标量方程，在每一个Runge-Kutta步引入不会影响精度和守恒性的满足最大模原则的限制器。该数值格式相对传统的WENO格式提高了分辨率显示较好的谱性质。相较于传统的小模板五阶有限体积紧致格式，该类格式具有能够捕捉间断的良好特性。同时该格式能够保证密度、压力和水深等的非负性。我们重点研究构造基于拟一致网格和无结构网格下的非线性加权紧致本质无震荡数值格式。最后，将该高阶数值格式应用于数值模拟可压欧拉方程组以及浅水问题，尤其是无水区域的浅水问题。

随着计算流体动力学的日益成熟以及高性能计算机的发展，计算流体力学中数值方法的研究得到迅速发展。经典的低阶格式对一些复杂的计算流体力学问题的模拟很难给出精细的流场结构，而耗散和色散小的高阶高精度数值计算格式能够较好处理这类问题。高阶高分辨率紧致数据格式的研究由于其具有高分辨率以及小模板的性质受到研究人员的关注。基于加权本质无震荡思想的高阶格式处理激波问题具有较大优势。如何将这两种高阶数值格式较理想的结合起来构造本质无震荡同时具有高分辨率的数值格式是目前数值格式研究的重点。本研究首先基于前期对高阶格式和本质无震荡数值格式的研究作进一步推广应用。主要研究以下几方面的问题。首先研究将基于有限体积的五阶加权本质无震荡数值格式结合经典的基于有限体积的Pade紧致格式应用到经典的粘性Burgers`方程。然后，研究五阶加权本质无震荡紧致格式结合通过引入保模限制器的思想对复杂路网的交通流问题的给出数值模拟。最后，研究前期所提出的五阶格式到更高阶的七阶格式的推广，引入通量限制器是的格式满足最大模以及保正的性质。通过对Burgers`方程的应用，从数值理论分析可以看到该格式满足一定条件下是稳定的。数值结果可以看出格式的五阶精度以及对含激波问题也能给出较好的数值解。对复杂路网的交通流问题的研究可以看出该格式能够处理比较难处理的复杂路网的交通流问题，并且该数值格式能够非常高精度的解决此类交通流问题。最后研究二维可压缩Euler方程组的七阶加权本质无震荡格式构造。从数值解结果可以看到，该七阶格式较前期的五阶格式以及经典的WENO格式在计算精度和计算效率上都有很大的提升。并且从对二维问题的研究可以发现，该七阶格式更适合二维问题，能够对很复杂的流体结构给出较为精确的数值解。从数值模拟结果可以看到，保正的高分辨率本质无震荡数值格式的研究对计算流体力学问题的数值模拟能够给出精确的数值解。