基于气动声学问题的高阶非线性紧致格式研究

The study of numerical schemes with shock-capturing property for simulation of shock-associated noise is very important. We will design boundary schemes with global stability using central compact schemes as inner schemes, and study the boundary treatment for compact schemes using the inverse Lax-Wendroff procedure. We will develop higher order accuracy, higher resolution and lower dissipation non-linear compact schemes with WENO interpolation, which will be able to capture shock wave. We will analyze the dispersion and dissipation characteristics of WENO schemes and non-linear compact schemes using the methods of Approximate Dispersion Relation and Nonlinear Spectral Analysis. We will develop the hybrid schemes based on the linear and non-linear compact schemes. We will explore more effective discontinuity-detector, and design weighted factors with less empirical parameters for hybrid schemes.

研究适合于模拟激波噪声的数值格式具有重要的科学意义。本项目拟采用线性中心紧致格式作为内点差分格式，设计满足全局稳定性要求的边界格式，结合反Lax-Wendroff方法来研究紧致格式的边界处理。根据WENO插值技术来构造高阶精度高分辨率非线性紧致格式，使得这类非线性紧致格式能够很好的捕捉激波。采用近似色散关系方法和非线性谱分析方法来研究WENO格式和非线性紧致格式的耗散性和色散性。基于线性中心紧致格式和非线性紧致格式来发展一系列的混合格式，探索更通用有效的间断探测器，设计经验参数更少的加权因子。

在本项目中，CCSSR-W格式是在我们发展的具有谱分辨率的线性紧致格式(CCSSR格式)基础上设计的。我们的主要思路是采用结点上的物理通量和半结点上非线性插值的方法来得到网格中心处的通量导数值。通过迎风和混合非线性加权插值的办法来求解两类线性中心格式网格中心处的函数值。通过非线性插值， CCSSR-W格式发展到9阶精度，四种不同的非线性权在本项目中详细地进行了分析。对于提出的所有格式，特征投影被应用到守恒通量上，进一步结合通量分裂方法来计算函数值。通过系统的谱分析，精度测试和数值试验我们发现高阶CCSSR-W格式比低阶格式更加有效和准确。CCCSSR-W 格式比原始的WENO格式有更好的分辨率和更高的精度。发展了两种混合格式，即CCCSSR-HW 格式与CCSSR-HW 格式。CCCSSR-HW 格式与CCSSR-HW 格式相比，有更高的精度和分辨率以及更低的数值耗散，甚至比高阶的CCSSR-HW 格式更好。CCCSSR-HW 格式保持了原有中心紧致差分格式的高阶精度和低耗散特性，同时其分辨率也非常高，由于其非线性插值的机制，使得这类格式能够捕捉强激波。