控制系统不变熵及其相关问题的研究

The invariant entropy and control set are two central notions in control dynamics. Different to the classical topological entropy of a dynamical system, invariant entropy characterizes the exponential growth rates of the numbers of controls (inputs) needed for some control purpose. But their definitions are formally very similar. Up to now, there are two ways to define invariant entropy, respectively, by the open-cover definition and by spanning set definition. The main lines of the project are following. 1). Two alternative definitions of invariant entropies will be defined, via Pesin and Bowen entropies, respectively. And their elementary properties will be also studied. 2). We will discuss the invariant entropies of switched control systems and the systems governed by a class of partial differential equations. 3). Existence of control sets for control systems and their internal structure will be investigated in terms of the control flows induced by the control systems..The project combines control theory and dynamical system theory. So it provides a new way to study control problems in control systems. Besides, investigation of invariant entropy is also very significant in applications, since it is closely related to the average minimal data rates in digital communication systems.

控制系统的不变熵和控制集是控制动力学领域的中心概念。与动力系统的拓扑熵不同，不变熵是描述一个控制系统为了达到某一目的所需不同控制个数的指数增长率。但其定义手法与拓扑动力系统的拓扑熵十分类似。目前已有两种方法定义不变熵，一是用开覆盖定义（称为拓扑反馈熵），另一是用张成集定义。本项目研究如下内容：1），参照动力系统Pesin熵和Bowen维数熵的定义手法，我们将给出不变熵的其它两种定义并讨论其基本性质；2），讨论切换系统和一类由偏微分方程描述的无穷维系统的不变熵；3），利用控制系统和由其诱导的控制流之间的关系，讨论控制集的存在性及其内部结构。.项目属于动力系统与控制系统的交叉融合，为研究控制系统的控制问题提供了新的研究手段。此外，不变熵与数字通信中信道所允许的最小平均传输数字率密切相关。因此，对控制系统不变熵的研究亦具有重要的应用价值。

控制系统的不变熵和控制集是控制动力学领域的中心概念，与动力系统的拓扑熵不同，不变熵是描述一个控制系统为了达到某一目的所需不同控制个数的指数增长率。但其定义手法与拓扑动力系统的拓扑熵十分类似。目前已有两种方法定义不变熵，一是用开覆盖定义（称为拓扑反馈熵），另一是用张成集定义。本项目研究了如下内容：1，参照动力系统Pesin熵和Bowen维数熵的定义手法，给出不变熵和不变压的新定义并讨论其基本性质；2，利用遍历理论方法，研究测度版本的不变熵和不变压以及它们与不变熵和不变压的关系，得到了逆变分原理和在一定条件下的变分原理；3，讨论了控制系统的控制集的动力学性态，得到控制集上的二分定理；4，讨论了切换系统的拓扑熵和一类由偏微分方程描述的无穷维系统的复杂性。.项目利用动力系统和遍历理论方法研究控制系统的不变熵和控制集的动力学性态，为研究控制系统提供了新的研究手段， 具有重要的科学意义。此外，不变熵与数字通信中信道所允许的最小平均传输数字率密切相关。因此，对控制系统不变熵的研究亦具有重要的应用价值。