随机序列条件极限定理的研究

The study of conditional limit theorems for random variable sequences is one of the hot topics in recent probability limit theory. Random variable sequences possess many new things and research methods resulting from the conditioning. Recently, the properties of conditional random variables are lacked and the research on the conditional limit theorems of random sequences is very slow progress and results are few. The project arms to study the limit theorems and the conditional limit theorems for random variables. In view of the definitions of random variables and the results obtained, conditional exponential inequalities, conditional moment inequalities and conditional maximal moment inequalities will be established. Based on these inequalities, the conditional strong laws of large numbers, conditional moment complete convergence, convergence rates and conditional moment complete convergence for random weighted sums and so on, will be studied. Finally, conditional weak laws of large numbers and conditional mean convergence theorems of random variables will be discussed. These researches will have great significance on the enriching and development of the probability limit theory.

随机变量序列条件极限定理的研究是当前概率极限理论的热点问题之一。条件对随机变量的作用，使得随机变量序列有了许多新的内容和研究方法。目前条件随机变量的性质研究尚不充分，随机变量序列的条件极限性质的研究进展缓慢且研究成果较少。本项目将深入研究随机变量的极限定理和条件极限定理。利用条件随机变量的定义和已有成果讨论条件随机变量的性质，在此基础之上，建立随机变量的条件指数不等式、条件矩不等式和条件最大矩不等式。借助这些不等式，研究随机变量的条件强大数律、条件矩完全收敛性及收敛速度、随机加权和的条件矩完全收敛性等。最后研究随机变量的条件弱大数律和条件矩收敛定理等。本项目的开展将对概率极限理论的丰富和发展具有重要意义。

本项目建立了相依随机变量序列的完全收敛性和完全矩收敛性、不等式以及极限理论在统计模型中的应用等方面的一些结果。首先，完全收敛性和完全矩收敛性： 建立了相依序列，如NSD序列、NOD序列、END序列和WOD序列，加权和的完全收敛性以及完全矩收敛性，同时，获得了END序列和NSD序列相应的Baum–Katz型结果，NSD序列所对应的Marcinkiewicz-Zygmund型加权和的强大数律，获得了NOD序列的Hsu-Robbins型定理，推广了独立序列和一些相依序列的结果；建立了满足Rosenthal型最大值不等式和弱均值控制条件的一些随机变量序列的平滑过程的完全矩收敛性，推广了一些相依序列的相应结果。其次，相依随机变量序列的不等式：获得了END序列的在 0<=q<2下的Hajek–Renyi型不等式，同时得到了相应的强大数律和强收敛速度；建立了无界phi混合序列和的指数型不等式，推广了相应的独立同分布随机变量序列的结果，同时获得了phi混合序列的强大数律和强收敛速度；建立了WOD序列的一些指数不等式，获得了以O(n(- 1/2)ln(1/2)n)为收敛速度的WOD序列的强大数律。最后，极限定理在统计模型中的应用：基于一些相依误差，如强混合误差、END误差和WOD误差，建立了非线性回归模型的非线性回归参数的最小二乘估计量的一些大偏差结果。同时还得到了强混合误差下最小二乘估计量的完全相合性，END误差下的弱一致收敛和完全收敛速度以及进行了一些例子和模拟以解释所得结果。这些结果推广了独立和一些相依误差下的结果。建立了自回归模型自回归系数自加权M估计的渐近性，推广和改进了已有的结果。